第四章向量组的线性相关性1

§1向量组及其线性组合定义1:n个数 a 1, a 2,

, a n所组成的有序数组

称为一个 n维向量，这 n个数称为该向量

的 n个分量，第 i个数 a i称为第 i个分量。

这里定义的 n维向量就是指行(或列)矩阵。

a1 a 2 (a1, a2 an

an )T称为列向量。

(a1, a2,, an )

称为行向量。

例1. 3维向量的全体所组成的集合3

{ ( x, y, z )T| x, y, z R}

通常称为 3维Euclid几何空间。集合

{ ( x, y, z )T| ax by cz d}称为3

中的一个平面。4

n维向量的全体所组成的集合n

{ ( x1, x 2,, x n ) T| x1, x 2,, x n

}

称为 n维Euclid空间。集合

{ ( x 1, x 2, , x n )| a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b}T

称为 n维Euclid空间

n

中的 n-1维超平面。5

非齐次线性方程组 Ax b的解集合

S { x| A x b}齐次线性方程组 Ax 0的解集合

S { x| A x 0}

同一维数的列向量 (或行向量)所组成的集合称为向量组。 m×n阵 A的列向量组: A ( a 1, a 2, , a n ) 1T T 2 行向量组: A T m 7

§2向量组的线性相关性定义1:设向量组 A: 1, 2,

, m,及一组实数 km m

k1, k2,

, km,表达式

k1 1 k2 2 k1, k2,

称为向量组 A的一个线性组合，

, km称为线性组合的系数。

定义2:设向量组 A: 1, 2,

, m,和向量 b

若存在一组实数 1, 2,使得 b 1 1 2 2

m, m m

则称向量 b是向量组 A的一个线性组合，或称向量 b能由向量组 A线性表示。

例2:

2 1 1 0 a1 1 , a2 2 , a3 1 , b 3 1 1 2 3

则 b能由 a1, a2, a3线性表示.

既方程组或方程组

x1a1 x2a2 x3a3 b

2 x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 3 x x 2 x 3 2 3 110

得

x1 x 2 x 3

1 1 c 1 2 1 0

b a1 2a2所以，

a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x a x m1 1 m 2 2

a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm

a11 a12 a 21 a 22记 A a m1 a m 2

a1n a2n a mn

x1 x2 x x n

b1 b2 b b m

若 A 1,

2,

a1 j a2 j , n ,其中 j a mj

则方程组的向量表示为

x1 1 x2 2

xn n b

定理1:向量 b可由向量组 1, 2,, m线性表示

Ax b有解，其中 A ( , ,, ) 1 2 m R( A) R( A, b)

定义3:设向量组 A: 1, 2,

, m及 B: 1, 2,

, n

若 B组中的每一个向量都能由向量组 A线性表示，则称向量组 B能由向量组 A线性表示。

若向量组 A与向量组 B能相互线性表示，则称向量组 A与向量组 B等价。

A: 1, 2,

, m B: 1, 2,

, n B能由 A线性表示 km 1 m km 2 m km n m, k1n 1 kmn m )

1 k11 1 k21 2 2 k12 1 k22 2 k k 1n 1 2n 2 n( 1,, n ) ( k11 1 km1 m,

( 1,

k11 , m ) k m1

k1n kmn 16