线性代数课件 第二章 矩阵 3 分块矩阵、矩阵的初等变换

第二章 矩阵§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵

§3 分块矩阵、矩阵的初等变换§4 初等矩阵、矩阵的秩

线性代数课件 第二章 矩阵 3 分块矩阵、矩阵的初等变换

一、可逆矩阵、逆矩阵的概念

二、可逆条件、逆矩阵的求法三、逆矩阵的性质

线性代数课件 第二章 矩阵 3 分块矩阵、矩阵的初等变换

一、可逆矩阵、逆矩阵的概念定义1设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E, 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.

注： ①(唯一性)可逆矩阵A的逆矩阵唯一，记作 A 1 .AA 1 A 1 A E .

②可逆矩阵A的逆矩阵 A 1 也可逆，且 ( A 1 ) 1 A. ③单位矩阵 E 可逆，且§2可逆矩阵与逆矩阵

E 1 E .

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二、可逆条件、逆矩阵的求法1、伴随矩阵定义2设 Aij 是矩阵 A (aij )n n 中元素 aij 的代数余子式，矩阵 A11 A21 A12 A22 * A A A 1n 2 n 称为A的伴随矩阵.

An1 An 2 T ( A ) ij Ann

引理： AA* A* A A E .§2可逆矩阵与逆矩阵

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证：由行列式按一行(列)展开公式ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 A, k i akn Ain 0, k i

a1l A1 j a2 l A2 j

A, l j anl Anj 0, l j

立即可得,

a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2 A 0 0 A 0 0 §2可逆矩阵与逆矩阵

a1n A11 a2 n A12 ann A1n 0 0 A E. A

A21 A22 A2 n

An1 An 2 Ann *

同理, A A A E .

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2、定理：矩阵A可逆的充要条件是 A 0,1 * A A. 且A可逆时， A 1

证：若 A 0, 由 AA* A* A A E 1 * 1 * ( A )( A )A E 得 A A A 1 * 1 A. 所以，A可逆，且 A A 反过来，若A可逆，则有 AA 1 E , 两边取行列式，得 A A 1 E 1. A 0.§2可逆矩阵与逆矩阵

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推论：设A,B为 n 级方阵，若 AB E或BA E, 1 1 A B , B A. 则A,B皆为可逆矩阵，且

证： 从而

AB EA 0, B 0.

AB A B E 1

由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由

A 1 ( AB) A 1 E ,

( AB)B 1 EB 1 ,

即有， A 1 B, B 1 A.§2可逆矩阵与逆矩阵

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例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.

1 2 3 1) A 2 1 2 1 3 3 a1 a2 2) A an

§2可逆矩阵与逆矩阵

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解：1) ∴ A可逆.

1 2 3 2 1 2 4 0, 1 3 3再由

A11 3, A21 3, A31 1, A12 4, A22 0, A32 4, A13 5, A23 1, A33 3.* 3 3 1 A 1 有 A 1 4 0 4 . A 4 5 1 3

§2可逆矩阵与逆矩阵

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2)

A a1a2

an ,

∴ 当 ai 0 ( i 1,2, 且由于

, n) 时，A可逆.

a1 a2

1 a 1 1 a2 an

1 1 1 an

E 1

1 a1 1

1 a 2 A

. 1 an

§2可逆矩阵与逆矩阵

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2 A A 2 E O, 例2 设方阵 A 满足

证明： A 与 A 2 E 皆可逆，并求其逆. 证： 由 A2 A 2 E O, 1 即 A ( A E ) E , 2 1

得

A( A E ) 2E ,

故 A 可逆，且

1 A (A E) 2 再由 A2 A 2E O, 得( A 2E )( A 3 E) 4 E, 3 1 即( A 2 E )( E A) E , 故 A 2 E 可逆，且 4 4 3 1 1 ( A 2 E ) E A. 4 4 §2可逆矩阵与逆矩阵

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结论1 设A,B都是n阶矩阵，则(1) AB 可逆 A,B 均可逆. (2) AB 不可逆 A,B 至少有一个不可逆.

结论2 (1) A 可逆 A 非退化 A 非奇异 A 0;(2) A 不可逆 A 退化 A 奇异 A 0 .

§2可逆矩阵与逆矩阵

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3、 矩阵方程① 矩阵方程 An n X n s Bn s , 若A为可逆矩阵，则 X A 1 B .

② 矩阵方程 X m n An n Bm n ,若A为可逆矩阵，则X BA 1 .

③ 矩阵方程 An n X n s Bs s Cn s , 若A, B皆可逆，则§2可逆矩阵与逆矩阵

X A 1CB 1 .

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2 5 =1 0, 2 5 可逆， 解： 1 3 1 3 2 5 4 6 且 X 1 3 2 1 3 5 4 6 2 23 0 8 1 2 2 1 a b A 注: 一般地， c d 可逆 ad bc 0, 1 d b A ad bc c a .例3 解矩阵方程2 5 X 4 6 . 1 3 2 1 1 1

§2可逆矩阵与逆矩阵

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0 3 3 例4 已知 A 1 1 0 , AB A 2 B, 求矩阵B. 1 2 3 解：由 AB A 2 B ,得 ( A 2 E ) B A ,又

1 3 3 1 1 A 2 E 可逆，且 ( A 2 E ) 1 1 3 2 1 1 1 0 3 3 B ( A 2 E ) 1 A 1 2 3 1 1 0 §2可逆矩阵与逆矩阵

2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1

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例5

1 2 3 1 3 2 1 设 A 2 2 1 , B , C 2 0 3 4 3 3 1 5 3 AXB = C .

求矩阵 X 使满足 解

A 2 0, B 1 0 , A, B可 逆 ， 且A 1 3 2 1 3 1 1 3 5 3 , B 2 2 5 2 1 1 1 X A 1CB 1§2可逆矩阵与逆矩阵

1 2 10 4 10 4