带电粒子在磁场中运动方法总结

发布时间：2024-11-25

带电粒子在磁场中运动方法总结

带电粒子在磁场中运动方法总结20141106

带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：

一、对称法

带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆形磁场的圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

例3：可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”．热核反应的发生，需要几千万度以上的高温，然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图所示为该装置的简化模型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知其截面内半径为R1＝1.0 m，磁感应强度为B＝1.0 T，被约束粒子的比荷为q/m＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面的P点以速度V0＝4.0×107 m/s沿环的半径方向射入磁场(不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．

(1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R2； (2)若该粒子从P点沿任意方向射入，但速度大小仍为V0，求磁场区域最小半径R′2 .

(3)若只改变该粒子的入射速度V，使V＝

V，求该粒子30

从P点进入磁场开始到第一次回到P点所需要的时间t .

带电粒子在磁场中运动方法总结

例4：如图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存

在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.10 T，磁场区域半径r＝3m，左侧区

3圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外，两区域切点为C.今有质量m＝3.2×10

－26

kg、带电荷量q＝1.6×10

－19

C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速

度v＝1×106 m/s正对O1的方向垂直射入磁场，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求： (1)该离子通过两磁场区域所用的时间；

(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)

例5：如图17所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．

练习：如图所示，一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为V，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示，不计重力的影响，求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

例6：（2008重庆理综）图为一种质谱仪工作原理图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且OM=d，现有一正离子束以小发射角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为V0，若该离子束中比荷为m的离子都汇聚到D，试求：（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；（3）线段CM的长度。

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二、旋移圆法

在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），或者把一圆周向各个方向推移，用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例7：如图11－2－9所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)．一群比荷为q/m的负离子体以相同速率V0(较大)，由P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )

A、离子飞出磁场时的动能一定相等 B、离子在磁场中运动半径一定相等

C、由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 D、沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大

例8：如图8所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应mv0

的磁感应强度可以是(其中B0，A、C、D选项中曲线均1L

为半径是L的圆弧，B) ( )

例9：如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

例10：（2010全国新课程卷）如图10所示，在0≤x≤a．0≤y≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

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三、缩放圆法

带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。

例11：如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为

d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

例12：（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方向平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

四、临界法

以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。例13：如图11－2－10所示，长方形区域abcd，长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上

－

无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T．一群不计重力、质量m＝3×107 kg、电荷量q＝

－

＋2×103 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad的方向垂直于磁场射入磁场区域 ( )

A、从Od段射入的粒子，出射点全部分布在Oa段 B、从Oa段射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C、从Od段射入的粒子，出射点分布在Oa段和ab边 D、从Oa段射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边

带电粒子在磁场中运动方法总结

例14：长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

例15：如图22，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。求：

（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。

五、非圆周运动类

例16：如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点，不计重力，则（） A、该离子必带正电

B、A、B两点位于同一高度 C、离子到达C点时的速度最大

D、离子到达B点后，将沿原路返回A点

例17：一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方向垂直于一个垂直纸面向里的匀强磁场，如图7所示，小球飞离桌面后落到地板上，设飞行时间为t1，水平射程为s1，着地速度为v1，撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为s2，着地速度为v2.则下列论述正确的是 ( ) A、s1>s2 B、t1>t2

C、v1和v2大小相等

D、v1和v2方向相同

例18：如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dPa打到屏MN上的a 点，通过Pa段用时为t.若该微粒经过P点时，与一静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的（）

A、轨迹为Pb，至屏幕的时间将小于t B、轨迹为Pc，至屏幕的时间将小于t C、轨迹为Pb，至屏幕的时间将等于t D、轨迹为Pa，至屏幕的时间将大于t 例19：如图11－2－5所示，下端封闭、上端开口，高h＝5 m、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量m＝10 g、电荷量q＝0.2 C的小球．整个装置以v＝5 m/s的速度沿垂直于磁场方向进入B＝0.2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞出．取g＝10 m/s2.求： (1)小球的带电性．

(2)小球在管中运动的时间．

(3)小球在管内运动过程中增加的机械能．

带电粒子在磁场中运动方法总结

例20：如图甲所示，在直角坐标系xOy中，第一、四象限存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和垂直纸面向内。现有一内壁光滑且与y轴平行的长直玻璃圆管沿x轴正方向做匀速运动，管口a恰好在x轴上。某时刻一质量为m、电荷量为q（q>0）的小球从y轴上P点沿x轴正方向射入磁场中，初速度为圆管运动速度的2倍。当管口运动到Q点（x0，0）时小球恰好无碰撞进入圆管，此时立即对圆管施加一外力，使圆管始终与y轴平行且速度不变。假设运动过程中小球的电荷量始终保持不变，小球、圆管的重力和空气阻力均不计，圆管直径略大于小球直径。

答案：例1：s=

2mvBe

－

4πm3Be

例2：R= t=

－

πr

例3V0

3：(1)2.41 m 5πm5πm

练6qt3qt （3）dcotα

6 (2)R′2=3m(3) 5.74×107 s 例4：(1)4.19×106 s (2)2 m 例5：习、B=

3mvqL