第三 三节重积分计的算1、直角坐标下系 、柱面坐标2下 系、3面球标系下坐第六

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1 .用直利坐角标算计三积分先假设重续函连 数f (,xy , z) 0,并将它 作某物看体

密的度函数 ,过计通该物算的体质引出量下各计列算 方:法方1法. 投 法 影“(一后先”)二 方法 .2 截法面 (“二后先”)

方法3 一 .三积分法次 最,后 广到推般可一积数函的积分计算.录目上页

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束/242

方1.法 影投 法“先一后二( )” z ( x1,y ) zz 2 (x, y) : Ω ( , x ) y D 细长柱微元体的质量为

z z 2 x,( )

zz z1y (x , y) z 2(x, y ) f( x, y , z)d z d d x y z x, (y ) 1 物体该质的为量O

f ( x ,, yz d )v z( , xy) f ( x, y, z )dz d x yd D z ( x ,y) z x( ,y )作记 Dd x d y z (x ,y ) f (x ,y z)d z, 1221

D

yxdx d

y微元线度密≈f ( x, ,yz ) dd xy目

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结

3/束42

法2. 截面法方 “先二后一”()

zb以Dz 为,底 z d为高的柱薄形片质为量物体该的质为量

Dzza Ox

y面密≈度f ( x , , y z)d z D f ( x, y, z ) d d y x d zbaz记作

adz

Dbf( x ,y ,z)d xd zy录目上页 下 页 返回结束

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方法3. 三次积分法

z1 x( y,) z z2 x(,y) 区域设

:1 y () y x y 2 () x (x,y ) D: ax b利用投影结果 , 把法重二积分化成次二分即得:b 积y2 ( )x1

dx a (y ) dxy z ( x,y )

12 (zx, y)

f( x ,y, )z dz投影法 d xd y D

2z ( x,y ) 1 (zx , )yf (x , y, )z dz

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被当积数函在积域分上号时变,因

f 为( , y x ,z)f ( x, y , )z (f ,x y, ) z ( fx y, , z ) f x( ,y ,z ) 22 f1 ( x, , y z f 2)( x ,,y )z为均为非函负数根据 重分性质积可仍前面用绍的介法方计算.

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束6/42

小结: 三重分的积计方算

方法法. 1先“后二一

” d dx Dyz2 (x , y)z1 ( , x )yf (x, y, z d) z方法2.“先二后 ”一

d z a

b

Dz f(x , y,z )d x ydz2( x, y ) 方法. 3“次三积”

分 d x a

by2( x

)1y (x )

d y

z (1x , y)f ( x,y ,z )d z种三法(包方含2种1式)形有特点各 ,具体算计应时根 据被函数及积积分的域点特灵选活.目录 择页 上页下返回 束结724/

面及

面 平 x2 y z 1 所 围成闭的域区

.例. 计算1重三分积 dxx d dyz , 其 中为三 坐个 标0 z 1 x 2y 解 : :0 y 1 1 ( ) x20 x 1

z

1 21 xd dxy dzO

0

x dx 01 1( 1 x) 2 1 x 2

yy

d

z x10

( 1 x y2 ) yd1 11 3 2( x 2 x x ) xd 4 084目录上页 下 返回 页结束

8/24

例

2 .算计三积分重解: : cz x ycz D :z 22 1 2 a bc22 2

2 z zD z c Ob yxa用先二后一“”

d xzdyd z c 2

c 2 dz z

Dc

xddyz π 4ac b3 2 z πa (1b 2 d ) zc 15 c

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束结9/24

2

. 用柱利标计坐算三积分重( 设M (, yx,z ) R ,将 , y用x坐标 极 , 代 替 , 则 , , z 3)

就为称点M 柱坐标.的直 角坐与标面坐柱的关标系:x cs o y sin z z 坐面标别为分 0 0 2π z 圆柱面 半平面

zz

M x,(y ,z)

常

数 常数 z常 数

O面平x

y (x, y,)0目

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结

束1/204

如

所图示, 柱在坐面系中标体积元素 z d x为d d zy d v d d dz 因z此 f( x y,,z d)xdy zd d d zd

xdz

其中 F ( , , z )f ( cso , sin , )z适范围用:

dd d d d O

y)1积 域表面用柱面坐标表分时示方程简单 ;2 被)积数函柱用面标坐表示时量互相分离.

目变

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束

结1/12

例34 计.算重三积分

中 为其由柱面 x2 y 2 2 x平面 z 及 , 0 a za( 0 ) y, 0 所 围 成半柱体圆.0 2c o s 解: 在 面柱标坐下系 : 0 2 0 z a式原 z dd d z

2za Oy

d zz

0a 0

π2

0

d co2s 2d

22 co s xd v d d d z

2 48a 2 2π 3 cos d a 93 0 目

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结束

2124/

例4. 算三重积计分其中 由抛物面x 2 y 2 4 与z平 面z hh( 0) 所围 .成:解在 面坐标系下

柱zh

xh d2 dz 原 式= d 20 0 41 v d d d d z 2 h 2 2π (h )d 4 10 22 2πh O

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束结

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3 利.球坐用标计三重积分算

设 M ( ,xy ,z ) R 3 其,坐标为 ( 柱 , , z ),令 M O ,r z M O, 则(r, , ) 就称点为 M球的坐.标直坐标与球角面标的坐系关zz x r ins osc y srni s in z r osc 坐标 分面为别 0 r 0 2 π 0 π 球面半 平 锥面面M ( r , , ) 目录 r O x

M

yr 数常 常 数 常数 r s ni z r c s o

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结束142/4

如图所示

,在球坐面标系中积体素为元

d zd v rsin d r d d 2dr

因此有

r

d f ( x y,,z d)dx dyz (Fr , , r) sni d r dd 2

d O

x

y其中 Fr( , , ) f r sin ( c so , r si n isn , cos r ) 适用范围:1) 积分 域面用表球坐标面示表时程方单简;2) 积被数用球面函标坐示时变量互表分离.相目录上 页 下 页回返结 束1/542

5例. 计算重三分积球面

其中 与所立围.体解: 在面坐标系下球0r R : π04 0 2 π

z π4

rR 2π0 ( x y22 2 z)d x ddy z π 4 0sn i d d

R4 rdr 0

xO

y

51 π R (2 2 )5d v r 2 si nd rd d

目

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结回

16束24

/例