信号与系统复习题及答案.

发布时间：2024-11-25

信号与系统复习题及答案.

1．系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt

)t (de )t (r =

，则该系统为线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？）

2．求积分dt )t ()t (212-+⎰∞∞-δ的值为 5 。 3．当信号是脉冲信号f(t)时，其低频分量主要影响脉冲的顶部，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿。

4．若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。

5．信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为一常数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。

6．系统阶跃响应的上升时间和系统的截止频率成反比。

7．若信号的3s F(s)=(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)

ωωω。 8．为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的左半平面。

9．已知信号的频谱函数是）

）00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为01sin()t j ωπ

。 10．若信号f(t)的2

11)s (s )s (F +-=

，则其初始值=+)(f 0 1 。二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请

打“×”。（每小题2分，共10分） 1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）

2.满足绝对可积条件∞<⎰∞

∞-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条

件的信号一定不存在傅立叶变换。（ × ）

3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。（ √ ）

4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。得分

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（ √ ）

5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。（ × ）

三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分，

6题15分，共60分） 1.信号)t (u e )t (f t

-=21，信号⎩⎨⎧<<=其他，01012t )t (f ，试求)t (f *)t (f 21。（10分）解法一：当0t ≤时，)t (f *)t (f 21=0

当10t >>时，()120

()*()222t

t t f t f t e d e ττ---==-⎰

当1t >时，1

()120

()*()22(1)t t f t f t e d e e ττ---==-⎰

解法二：

122(1)22L[()*()]2(2)(2)2222()22

s s

e e

f t f t s s s s s s e s s s s ----==-+++=---++

112()*()2()2()2(1)2(1)t t f t f t u t e u t u t e u t --=---+-

2.已知)

2)(1(10)(--=

z z z z X ，2>z ，求)(n x 。（5分）解：

()101010(1)(2)21X z z z z z z z ==-----，收敛域为2>z 由1010()21

z z X z z z =---，可以得到()10(21)()n x n u n =- 3.若连续信号)t (f 的波形和频谱如下图所示，抽样脉冲为冲激抽样)nT t ()t (n s T ∑∞-∞=-=

δδ。

（1）求抽样脉冲的频谱；（3分）得分

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（2）求连续信号)t (f 经过冲激抽样后)t (f s 的频谱)(F s ω；（5分）

（3）画出)(F s ω的示意图，说明若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足什么条件？（2分） (t)f t O

)

(F ωωO m ω-m ω1

解：（1）)nT t ()t (n s T ∑∞-∞=-=

δδ，所以抽样脉冲的频谱

[()]2()T n s n F t F n δπ

δωω∞

=-∞=-∑ 1n s

F T =。（2）因为()()()s T f t f t t δ=，由频域抽样定理得到：

1[()][()()]()*()21()s T s s n s n s F f t F f t t F n F n T δωωδωωπωω∞=-∞∞=-∞

==-=-∑∑ （3）)(F s ω的示意图如下 O m ω-m ω1s

T ()

s F ωs ωs ω-ω

)(F s ω的频谱是()F ω的频谱以s ω为周期重复，重复过程中被1s

T 所加权，若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足若2,

s m s m T πωωω≥≤。 4.已知三角脉冲信号)t (f 1的波形如图所示

（1）求其傅立叶变换)(F ω1；（5分）

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（2）试用有关性质求信号)t cos()t (f )t (f 0122ωτ

=的傅立叶变换)(F ω2。（5分）解：（1）对三角脉冲信号求导可得：1()22[()()][()()]22

df t E E u t u t u t u t dt ττ

ττ=

+---- 21()18[

][sin ()]4

df t E F dt j ωτ

ωτ=-，可以得到21()()24E F Sa τωτω=。（2）因为)t cos()t (f )t (f 0122

ωτ

[()]()2

j E F f t e

Sa τω

τωτ--=

00()()220022

0()()11[()cos()]2224224

j j E E F f t t e Sa e Sa ττ

ωωωωωωωωτ

ττωττ---+-+-=+

5.电路如图所示，若激励信号)t (u )e e ()t (e t t 3223--+=，求响应)t (v 2并指出响应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。（10分）

解：由S 域模型可以得到系统函数为

221()2()2()22

2V s s s H s E s s s +

+==

=++ 由)t (u )e e ()t (e t t 3223--+=，可以得到

32()23

E s s s =

+++ ，在此信号激励下，系统的输出为

2323

2()()()()222313s V s H s E s s s s s s +==+=++++++

则 ()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

强迫响应分量：31

()2t e u t -

自由响应分量：2()t e u t -

瞬态响应分量：()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

稳态响应分量：0

(t)f 12

+-+

e(t)

(t)

v 2Ω

1Ω

1F 21

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6.若离散系统的差分方程为

)1(3

1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）求系统函数和单位样值响应；（4分）

（2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；（4分）

（3）画出系统的零、极点分布图；（3分）

（4）定性地画出幅频响应特性曲线；（4分）

解：（1）利用Z 变换的性质可得系统函数为：

112111071()3333()3111111()()482424

z z z z z H z z z z z z z ---++-===+-+---- 12z >，则单位样值响应为

10171()[()()]()3234

n n h n u n =- （2）因果系统z 变换存在的收敛域是12

z >，由于()H z 的两个极点都在z 平面的单位圆内，所以该系统是稳定的。（3）系统的零极点分布图

Re z

Im j z

（4）系统的频率响应为

21()3()3148j j j j j e e H e e e ωω

ωωω+=-+ 13()1124j j j j e H e e e ωωωω+=--

当0ω=时，32()9j H e ω=

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当ωπ=时，16()45

j H e ω=

()

j H e ω1645

329ω

2π

四、简答题（1、2二题中任选一题解答，两题都做只计第1题的分数，共10分）

1. 利用已经具备的知识，简述如何由周期信号的傅立叶级数出发，推导出非周期信号的傅立叶变换。（10分）

2. 利用已经具备的知识，简述LTI 连续时间系统卷积积分的物理意义。（10分）

1.解：从周期信号FS 推导非周期信号的FT 11

()().jn t

n f t F n e

ωωω∞

∑

对于非周期信号,T1→∞,则重复频率10ω→,谱线间隔1(n )d ωω∆→，离散频率变成连续频率ω。

2112

111()()..T T jn t F n f t e dt T ωω--=⎰

在这种极限情况下1()0F n ω→，但11

2().F n π

ωω可望不趋于零，而趋于一个有限值，且变

成一个连续函数。

111111111

2()().

().()()lim lim lim T T jn t T T j t F F n F n T f t e dt

f t e dt

ωωωπ

ωωωω→→--→∞∞

--∞

====⎰

⎰

得分

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考察函数1111).(或2).

(T n F n F ωωπω,并定义一个新的函数F(w) 傅立叶变换：()()j t F f t e dt ωω∞--∞

=⎰ F(w)称为原函数f(t)的频谱密度函数(简称频谱函数).

傅立叶逆变换 11()().j n t n f t F n e

ωωω∞=-=

∑ 1111()()..jn t n F n f t e ωωωω∞=-∞=

∑ 1()()

F n F ωω→n ω∞∞-∞=-→∑⎰111()..()2jn t n F e n ωωωωπ

∞

=-∞=∆∑ 1()().d 2j t f t F e ωωωπ

∞-∞=⎰ 11110

()T n n d ωωωωω→∞→→∆→

2.解：线性系统在单位冲激信号的作用下，系统的零状态的响应为单位冲激响应：

()()t h t δ→

利用线性系统的时不变特性：

()()t h t δττ-→-

利用线性系统的均匀性：

()()()()e t e h t τδτττ-→-

利用信号的分解，任意信号可以分解成冲激信号的线性组合：

()()()e t e t d τδττ∞

-∞=

-⎰

利用线性系统的叠加定理：

()()()()()()e t e t d r t e h t d τδτττττ∞∞-∞-∞

-→=-⎰⎰

=-⎰∞∞-dt t t )()5cos 2(δ 。

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()dt t e t 12-⎰+∞

∞--δ= 。 3. 已知 f (t )的傅里叶变换为F (j ω), 则f (2t -3)的傅里叶变换为

)2(2123

ωωj F e j - 。 4. 已知 6

51)(2+++=s s s s F ，则=+)0(f 1 ; =∞)(f 0 。 5. 已知 ωωπδεj t FT 1)()]([+

=，则=)]([t t FT ε 。 6. 已知周期信号)4sin()2cos()(t t t f +=，其基波频率为 rad/s ；

周期为 s 。

7. 已知)5(2)2(3)(-+-=n n k f δδ，其Z 变换=)(Z F ；

收敛域为。 8. 已知连续系统函数13423)(23+--+=

s s s s s H ，试判断系统的稳定性：。

9．已知离散系统函数1

.07.02)(2+-+=z z z z H ，试判断系统的稳定性：。 10．如图所示是离散系统的Z 域框图，该系统的系统函数H(z)= 。

二．(15分)如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，

⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--

5)0(',2)0()(52)(4522y y t f dt df t y dt dy dt y d 已知输入)()(2t e t f t ε-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应 )(t y zs 和零输入响应)(t y zi ，0≥t 以及系统的全响应),(t y 0≥t 。

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三．（14分）

① 已知2

3662)(22++++=s s s s s F ,2]Re[->s ,试求其拉氏逆变换f (t )； ② 已知)2(2

35)(2>+-=z z z z

z X ，试求其逆Z 变换)(n x 。

四（10分）计算下列卷积：

1. }1,0,6,4,3{}4,1,2,1{)()(21--*=*k f k f ； 2．)(3)(23t e t e t t εε--* 。

五．（16分）已知系统的差分方程和初始条件为：

)()2(2)1(3)(n n y n y n y ε=-+-+，5.0)2(,

0)1(=-=-y y 1. 求系统的全响应y (n )；

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2. 求系统函数H (z )，并画出其模拟框图；

六．（15分）如图所示图（a ）的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)

所示，其相位特性0)(=ωϕ，若输入信号为:

)1000cos()(,2)

2sin()(t t s t t t f ==π

试求其输出信号y(t)，并画出y(t)的频谱图。

参考答案

一填空题（30分，每小题3分）

2. 1 ； 2. e -2 ;

3. )2(21

ωj F e j - ;

4. 1 ，0 ;

5. 21

)('ωωπδ-j ； 6. 2 л ;

7. 5223)(--+=z z z F ，|z|>0； 8. 不稳定； 9. 稳定

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10. 214

14111)(--+-=

z z z H 二．（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--

5)0(',2)0()(52)(4522y y t f dt df t y dt dy dt y d 方程两边取拉氏变换：

)()6

1721316()()()(;)()2

121()(4

2/122/111459221)()()37313()(;)4

3/713/134592)(4

552214592)(4

55245)0(5)0(')0()()()(42422422222t e e e t y t y t y t e e e t y s s s s s s s s Y t e e t y s s s s s s Y s s s s s s s s F s s s s s y y sy s Y s Y s Y t t t zi zs t t t zi zs t t zi zi zi zs εεε-------------=+=--=+-+-+=+++⋅+=-=+-+=+++=+++⋅+++++=⋅++++++++=+= 三．1．（7分）

)

0(22)(2)(221222

32223662)(2222≥-+=+-+++=+++=++++=--t e e t t f s s s s s s s s s F t t δ

2．（7分）

)()12(5)(,2;2515)2)(1(5)(;235)(2k k f z z z z z z z F z z z

z F n ε-=>-+--=--=+-=为右边序列

四． 1. （5分） {}4,1,22,21,4,11,2,3)(----=k f

2.（5分）

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)()(3|)(36)()(6)(3)(230220)(33t e e e e d e

e d t e e t e t e t t t t t t

t t t εττ