概率论与数理统计的小论文

班级：1533105 学号：1153310522 姓名：李大帅

概率论的发展与应用

摘要：概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律性的数学学科。通过实验来观察随机现象，揭示其规律性，或根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律。它起源于17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决赌博中提出的一些问题。由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。发展到今天，概率论与数理统计在自然科学，社会科学，工业生产，金融及日常生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。

关键词：概率论与数理统计；起源与发展；应用

1.概率论的起源与发展

1.1 概率论的起源

概率论的起源与赌博有关，在17世纪中叶，一位名叫德·梅尔的赌徒向帕斯卡提出了“分赌注问题”即两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得s局便算赢家。如果在一个人赢a(a<s) 局，另一人赢b(b<s) 局时因故终止赌博，应如何分赌本。

帕斯卡将这一问题和他的解法寄给费马，他们频频通信，互相交流，围绕赌博中的数学问题开始了深入的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。

1.2 概率论的发展

到了18，19世纪，随着科学的发展，人们注意到社会科学和自然科学中许多随机现象与机会游戏之间十分相似，如人口统计、误差理论、产品检验和质量控制等，从而由机会游戏起源的概率论被应用于这些领域中，同时也大大促进了概率论本身的发展，瑞士数学家伯努利作为使概率论成为数学的一个分枝的奠基人之一，建立了概率论中第一个极限定理（即伯努利大数定律），阐明了事件发生的频率稳定于它的概率。随后，埭莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（即中心极限定理）的原始形式，拉普拉斯在其《分析的概率理论》一书中，明确的给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔代夫、李雅普诺夫等人用分析的方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学的解释了为什么在实际中遇到的许多随机变量都近似服从于正态分布。20世纪初，由于大量实际问题的需要，特别受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。爱因斯坦、维纳和列维等人对生物学家布朗在显微镜下观测到的花粉微粒的无规则运动进行了开创性的理论分析，提出了布朗运动数学模型，并进行了系统的研究；爱尔兰等人则在电话流呼唤中研究了泊松过程，成为排队论的开创者；费勒等在生物群体生长模型中提出了生灭过程；克拉默、维纳、辛钦等人系统研究了平稳

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过程；科尔莫果洛夫、费勒和多布则开创了更一般的马尔科夫过程和鞅论的系统研究。至今，对于随机过程的研究以及与其他新兴学科的交叉而形成的边缘学科的研究仍在继续。

2.概率论应用的预备知识

在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的几个误解。

①大部分人认为一件事件概率为零即为不可能事件，这种观点是错误的。在几何概率中，()=A P 的面积

的面积S A ，显然S 内每一点的面积均为零，概率也为零，但其发生的可能性并非没有，只不过是微乎其微，因而不是不可能事件，而是近似不可能事件。

②还有一些人在做决策时，认为这件事情的概率成功是p ，那么只要进行n 次决策，就一定会有np 次成功，但这样是非常不合理的。由切比雪夫大数定律：设⋯⋯,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，若存在常数C ，使得

()()⋯=≤,2,1i C X D i ，则对任意0>ε，有n C X E X P n i i n i i 2111)(n 1εε-≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡<-∑∑==，因此只有当n 取较大值，即进行更多次决策后，才能有更高的可能性实现实决策结果和期望值有较小的误差。

3.概率论的应用

3.1 概率论在自然科学中的应用

问题：为统计昆虫下一代数量，发现昆虫产k 个卵的概率λλ-=e k p k

k !，又知

道一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p ，且卵的孵化相互独立的，由此估计昆虫下一代有L 条概率。

答：设昆虫下一代有条为事件A ，昆虫产k 个卵为事件(),,1,⋯+=L L k B k 。昆虫下一代有L 条，那么昆虫至少需产L 个卵，所以L k ≥。当昆虫产k 个卵时，昆虫下一代有L 条的概率()

L k L L k k p p C B A P --=1)|(。 由全概率公式得：

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()()[]()()p

L L k L k L L k L k L k L k L k L k L k L k k k e L p L k p e k p p L k L p e p p e k C

B A P B P A P λλλλλλλλλ-∞=--∞=--∞=--∞==--=--=-==∑∑∑∑!!1!)()1()!(!)1(!

)|()(

3.2 概率论在社会科学中的应用

问题：在调查家庭暴力所占家庭的比例p 时，为得到真实的p 同时又不侵犯个人隐私，调查人员将袋中放入比例是0p 的红球和比例是001p q -=的白球。让调查者从袋中任取一球查看后返回，若取到白球，回答问题A ：你的生日是否在7月1日之前？若取到红球，回答问题B ：你的家庭是否存在家庭暴力？被调查者无论回答的是问题A 还是问题B ，只需在匿名调查表中选择“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱，没人能知道被调查者回答的是问题A 还是问题B 。如果声称有家庭暴力的家庭比例是1p ，如何求p 。

答：由全概率公式得：

).|()()|()()(红球是红球白球是白球是P P P P P +=①

其中，,)|(,)(,1)(,)(0001p P p P q p P p P ===-==红球是红球白球是当被调查者人数较多时，0.5)|(=白球是P ，将以上各量代入到式①中得().15.0001p p p p --=实际问题中，1p 是未知的，需要经过调查得到。假设调查了n 个家庭，其中有k 个家庭回答“是”，则可用n k p =∧1估计1p ，从而可用()00115.0p p p p --=∧

∧估计p 。 如果袋中装有30个红球，20个白球，调查了1672个家庭，其中有363个家庭回答“是”，则

.0285.06

.04.05.01672363=⋅-=p

3.3 概率论在工业生产中的应用

问题：设有N 件产品，其中有M 件次品，现在进行n 次有返回的抽样，每次抽取一件。求这n 次中共抽到的次品数的概率分布。

答：由于抽样有放回的，因此这是n 重伯努利实验，若以A 表示一次抽样中抽到次品这一事件，则

().N M A P p ==

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故()N M n B X ,~，即

()()n k N M N M C k X P k n k k n ,,1,01⋯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-.

3.4 概率论在防范金融风险中的应用

问题：设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求：

(1)任两种股票至少有一种获利的概率；

(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。 设C B A ,,分别表示三种股票获利，答：依题意C B A ,,相互独立。()()(),5.0,6.0,8.0===C P B P A P 则由乘法公式与加法公式：

(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率。 ()()()()().

7.05.06.08.026.05.05.08.06.08.021=⨯⨯⨯-⨯+⨯+⨯=-++=++=ABC P BC P AC P AB P BC AC AB P P (2)三种股票至少有一种股票获利的概率。

()()()()()()()()96

.05

.06.08.05.06.05.08.06.08.05.06.08.02=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P P 在长期的投资实践活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻所遇风险带来的损失。对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组，称为证券投资组合，其主要内容是在投资者为追求高的投资预期收益，并希望尽可能躲避风险的前提下，以解决如何最有效地分散组合证券风险，求得最大收益。计算结果表明：投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略。

3.5 概率论在日常生活实际中的应用

已知某网站每天的登录人数服从参数为λ的泊松分布，而进入该网站的每个人打开某网页的概率为p ，试求访问该网页人数的分布律及其数学期望。

解：以X 表示登录网站的人数，Y 表示访问某网页的人数.

依题意:

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()()()()

()

()()1,,,,2,1,00

|,,1,1|,,2,1,0!-⋯⋯====⋯+=-===⋯===--k L n n X k Y P L k k n p p C n X k Y P L n e n n X P k n k k n n

λ

λ 由全概率公式得：

()()()()()L k e k p n X P n X k Y P k Y P p k

n ,,2,1,0!|0⋯=======-∞

=∑λλ

().p Y E p Y λλ=，因此其数学期望为为仍服从泊松分布，参数可见

数学期望具有广泛的应用价值。实践证明当风险决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者作出决策，但不能代替决策者进行决策。因为在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断。

4.参考文献

[1].王勇.概率论与数理统计（第二版）.北京：高等教育出版社.2014

[2].肖筱南.新编概率论与数理统计[M].北京：北京大学出版社.2002. 49– 51.