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第一章第3课时： 第一章第 课时： 课时

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(一)因式分解的定义： 因式分解的定义：

基本概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解， 因式分解 分解因式。 分解因式。 因式分解

ma + mb + mc ← m ( a + b + c ) → 整式乘法

即：一个多项式 →几个整式的积 几个整式的积

练习题： 练习题：一个多项式分解因式的结果为( 一个多项式分解因式的结果为(x+3)(x+4), 则这个多项式为( 则这个多项式为( x2 +7 x +12 )

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(二)因式分解的方法： 因式分解的方法： (1)、提取公因式法 (2)、运用公式法

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)、提取公因式法 (1)、提取公因式法： )、提取公因式法：如果多项式的各项有公因式， 如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面， 公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形 这种分解因式的方法叫做提取公因式。 式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。即： ma + mb + mc = m(a+b+c) ( )

练习题： 练习题： 分解因式

1 . X2 – 9=(x+3)(x-3) ______

2.p( )-q 2.p(y-x)-q(y-x))-q( - ) 解： p(y-x)- (y-x) ( - )- = (y-x)( p -q) - )( )

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提公因式法：1.公因式确定 公因式确定 (1)系数：取各系数的最大公约数； )系数：取各系数的最大公约数； 最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母； )字母：取各项相同的字母； (3)相同字母的指数：取最低指数。 )相同字母的指数：取最低指数。 2.变形规律： 变形规律： 变形规律 (1)x-y=-(y-x) ) (3) (x-y)2=(y-x)2 3.一般步骤 一般步骤 (1)确定应提取的公因式； )确定应提取的公因式； (2)多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； )多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式。 )把多项式写成这两个因式的积的形式。 (2) -x-y=-(x+y) (4) (x-y)3=-(y-x)3

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练习题： 练习题：.分解因式 ax2y+axy2 分解因式: 分解因式 =axy(x+y)

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(2)运用公式法： )运用公式法：如果把乘法公式反过来应用， 如果把乘法公式反过来应用，就可以把多 项式写成积的形式，达到分解因式目的。 项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方 法叫做公式法。 法叫做公式法。公式法中主要使用的公式有如下几个： 公式法中主要使用的公式有如下几个：=(a+ )( )(a- ) ① a2-b2=( +b)( -b) [ 平方差公式 ]

练习② a2 +2ab+ b2 =( +b)2 + =(a+ ) [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]

练习a2 -2ab

- b2 =( -b)2 - =(a- )

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公式法用平方差公式分解因式的关键： 用平方差公式分解因式的关键：多项式是否 能看成两个数的平方的差； 能看成两个数的平方的差； 用完全平方公式分解因式的关键： 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断 一个多项式是否为一个完全平方式； 一个多项式是否为一个完全平方式； 平方差公式： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 完全平方公式： a2-2ab+b2=(a-b)2

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=(a+ )( )(a- ) ① a2-b2=( +b)( -b) 练习题： 练习题： 分解因式-(2y) 解： x2-( )2 =(x+2y)( -2y) ( + )(x- ) )(

[ 平方差公式 ]

-(2y 2y) x2-(2y)2

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② a2 +2ab+ b2 =( +b)2 + =(a+ ) a2 -2ab- b2 =( -b)2 - =(a- )

练习题： 练习题：下列各式能用完全平方公式分解因式的是( 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( D ) A、x2+x+2y2 、 + C、x2+4xy+y2 、 + B、 x2 +4x-4 、 - D、 y2 -4xy+4 x2 、 +

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因式分解的一般步骤： 因式分解的一般步骤：

一般步骤

一提：先看多项式各项有无公因式， 一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先 提取公因式； 提取公因式；二套：再看有几项， 二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式； 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“ 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“ 或能“套”。[如(x+y) -x-y=(x+y)(x+y-1) 如(x+y)²- y=(x+y)(x+y-

四查：最后用整式乘法检验一遍， 四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解 如能分解，应分解到不能再分解为止。 ,如能分解，应分解到不能再分解为止。第二步第 二环节

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1.分解因式 2 – n2 + 2m - 2n (北京市) 分解因式:m 分解因式 原式=(m2-n2) + (2m – 2n) 解: 原式 =( m + n )( m – n )+2( m – n ) =( m - n )( m + n +2) 2.分解因式 x3 – xy2 ( 沈阳市) 分解因式: 分解因式 原式= 解: 原式 x ( x2 – y2 ) = x ( x + y )( x – y )

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(x

3 -y) )

- ( x -y) )

解： ( x -y)3 - ( x -y) ) ) = ( x -y) ( x -y + 1) ( x -y - 1) ) ) )

x(x+1)(x-1) 分解因式: 分解因式 x3 – x = ___________ 解: x( x 2 – 1) = x (x+1)(x-1)

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.将 x – xy2 分解因式 x(1+y)(1-y) 将 分解因式______________ 解: x – xy2=x(1-y2) =x(1+y)(1-y) 分解因式:(4x2+1)2 – 16x2 分解因式解:

(4x2+1)2 – 16x2 =(4x2+1+4x)(4x2+1-4x) =(4x2+4x+1)(4x2-4x+1) =(2x+1)2(2x-1)2

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9(m+n)2-(m-n)2 ( =[3(m+n)]2- (m-n)2

(广西 广西) 广西

=[3(m+n)+ (m-

n)][3(m+n)- (m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)

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主要应用简化计算 解方程 多项式的除法