3.4.5 二阶系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应一般记为： k (t ) 单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换为1,标准二阶系统的

单位脉冲响应的拉氏变换为：

Y ( s) 2 L (t ) 2 s 2 n s n2 n 2 n 2 2 s 2 n s n1

1

无阻尼( 0)情形

k (t ) L 2 2 s 2 n s n 1 2 n

有两个共 轭纯虚根

n

1

2

e

nt

sin dtt 0

0

n sin nt

等幅正弦振荡2

2

欠阻尼( 0 1 )情形

k (t ) L 2 2 s 2 n s n 1 2 n

有两个共 轭的虚根

n

1

2

e

nt

sin dt

t 0

衰减正弦振荡3

3

临界阻尼( 1 )情形

k (t ) L 2 2 s 2 n s n 有两个相 2 n 1 等的实根 L 2 2 s 2 n s n 1 2 n2 n L 1 2 s n 4

2 1 n L 2 s n

te2 n

nt

t 0非振 荡曲 线！5

先单调增、后单 调衰减的曲线。

4

过阻尼( 1)情形 1 2 n

k (t ) L 2 2 s 2 n s n

有两个不 相等实根

2 n 1 L 2 2 s 1 s 1 n n n n

6

A B L 2 2 s n 1 n s n 1 n 1

可求得

A 则

n2 12

B

n2 12

n n 2 2 2 1 2 1 1 k (t ) L s 2 1 s 2 1 n n n n 7

1 1 k (t ) L 2 2 2 1 s n 1 n

n

1 L 2 2 2 1 s n 1 n

n

1

e 2 2 1

n

2 1 n t

e

2 1 n t

t 08

Impulse Response1

0.80.6 0.4 Amplitude 0.2 0

0 0.1 0.3 0.5

0.7临界 阻尼

-0.2 -0.4-0.6 -0.8 -1 09

1.0

2.0过阻尼

2

4

Time (sec)

6

8

10

12

对于欠阻尼二阶系统，单位脉冲响应达到最大值的

可以用求极值的方法来确定。 时间 t pk (t )

n1 2

e

nt

sin dt

n dk (t ) nt nt ne sin dt d e cos dt 2 dt 1

n e

n t

1

n sin d t d cos d t 210

n e

n t

1

n sin d t d cos d t 2

e

2 n t

n 2

1

sin d t 1 2 cos d t

2 1 e sin dt arctan 2 1 2 nt n

dk (t ) 0 ,得： 令 dt

1 2 sin dt arctan

0

dt arctanarctan 得 tp 1 2

1

2

01 2

arctan

d

n 1 2

0 下面求单位脉冲相应的最大值

1

) k (t )max k (tp

n1 2 ee 2 ntp

e

ntp

sin dtp

等于1

n1 2

代入 t 的值p1 2

arctan n

n1 2

n 1 2

n1

1 2

arctan

1 2

e

0

1 13

求导 单位阶跃函数 单位脉冲函数

积分

求导

单位阶跃响应积分

单位脉冲响应

欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应

y(t )

单位脉冲响应

tp

n 1 2

1 p0

单位阶跃响应 的峰值 y(tp )

tp

t

单位阶跃响应的峰值时刻

1.4 1.2

1 p

p

单位阶 跃响应

10.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

欠阻尼二阶系统

0 1阴影 面积 单位脉 冲响应

tp0 2 4 6Time (sec)

8

10

16

12