定积分的换元法上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。

先来看一个例子 例1

0

4

1 2 换元求不定积分 令 t 2 x 1 则 x ( t 1) 2 1 2 1 t t 2 1 3 3 x 2 2 2 dx dt t t C 2x 1 6 2 t3 1 1 3 ( 2 x 1) 2 ( 2 x 1) 2 C 6 2 4

x 2 dx 2x 1

故

0

x 2 22 dx 2x 1 3

尝试一下直接换元求定积分 2 t 1 为去掉根号 令 t 2 x 1 则 x 2

dx tdt

当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3

dt 1 ( 0) dx 2x 1于是

0

4

x 2 1 2 22 dx ( t 3)dt 2x 1 21 33

由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式

一、换元公式假设 (1) f ( x ) 在[a , b] 上连续； (2)函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续 导数；在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ,则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .b

(3)当 t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值

证

设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，

a f ( x )dx F (b) F (a ), (t ) F [ (t )],dF dx f ( x ) ( t ) f [ ( t )] ( t ), ( t ) dx dt

b

(t ) 是 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数.

f [ (t )] (t )dt ( ) ( ),

( ) a 、 ( ) b , ( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a ),

a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( ) f [ ( t )] ( t )dt .注意 当 时，换元公式仍成立.

b

应用换元公式时应注意:t (1) 用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也 相应的改变.(2) 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数 (t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成原 t 变量 x 的函数，而只要把新变量 的上、下限 分别代入 (t ) 然后相减就行了.

例2 计算a

02

a

a x dx2 2

y a x2

2

解1 由定积分的几何意义

x ao

0

a x dx2

等于圆周的第一象限部分的面积 解2 故

a

2

a

0

4 2 x 2 a x 2 2 2 a x dx a x arcsin C 2 2 a

2 2 2 a a x dx 4

解3 令 x a sin t

a x dx a cos tdt2 22 2

a

x 0 t 0 x a t 2 2 0

dx a cos t

a 2 a (1 cos 2t )dt 4 2 02 2

0

解4

令

x a cos t

仍可得到上述结果

例3

计算

0

2

cos x sin xdx.

5

解 令

t cos x, dt sin xdx ,x 0 t 1,

x t 0, 2

0

2

cos 5 x sin xdx0 5

t 1 t dt 6

6 1

0

1 . 6

注定积分的换元积分公式也可以反过来使用 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t , t 换成 x

f ( x ) ( x )dx

a

b

f ( t )dt

这说明可用

t ( x)

引入新变量

但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 t ( x ) 整体视为新变量，则不必换限

例4解

计算

0

sin x sin xdx .3 5

f ( x ) sin x sin x cos x sin x 3 5 0

3 2

sin 3 x sin5 xdx 0 cos x sin x dx

3 2

2 0 2 0

cos x sin x dx cos x sin x dx2

3 2

3 2

sin x

3 2 2

d sin x sin x d sin x25 2 2

3 2

5 2 2 sin x 2 sin x 5 5 0

4 . 5

例5

计算

e

3 e4

dx . x ln x(1 ln x )3 e4

解 原式

e

d (ln x ) ln x (1 ln x )3 e4

3 e4

e

d (ln x ) 2 ln x (1 ln x )3 e4

e

d ln x 2 1 ( ln x )

2 arcsin( ln x )

e

. 6

1 例6 计算 dx . (a 0) 2 2 0 x a x 解一 令 x a sin t , dx a cos tdt , x a t , x 0 t 0, 2 a

原式 2 0

2 0

a cos t dt 2 2 a sin t a (1 sin t ) 2 0

cos t 1 cos t sin t dt 1 dt sin t cos t 2 sin t cos t 2 0

1 1 ln sin t cos t 2 2 2

. 4

解二 接解一

cos t 对 dt sin t cos t 0

2

cos t 令 I dt sin t cos t 0

2

cos t J dt sin t cos t 0

2

则 I J dt 0

2

2

cos t sin t I J dt ln(sin t cos t ) 2 0 sin t cos t 0 02

I J

4