《数学建模》习题集答案

《数学建模》习题集答案

《数学建模》习题集_20091

1． 记时刻t的人口为x(t)，已知0时刻的人口为x0，假设人口增长率随着人口数量的增加

而线性下降，即从t到t t人口的增量与x(t)(1 x(t)/xm) t成正比。建立人口增长模型，求解并作出解的大致图形。(具体解答见书上P12)

x(t t) x(t) r*x(t)(1 x(t)/xm)* t

dx(t)/dt r*x(t)(1 x(t)/xm)xm

dx rdt

x(xm x)

11( )dx rdtxxm x

lnx ln(xm x) rt cln

x

rt cxm x

xxm x

ert c

解为x t

xm

x 1 m 1 e rt

x0

，大致图形如下：

2． 试在matlab中编程，用以下美国人口数据拟合人口增长模型：x(t)

x0ert，确定其待

定参数x0和r。

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Matlab常用函数名称列表：interp1、polyfit、polyval、fzero、fsolve、fminbnd、fminsearch、fmincon、lsqcurvefit、ode45、limit、diff、int。 解答：

1)先定义一个函数文件myfun.m： function f=myfun(a,t) f=exp(a(1)*t+a(2));

2)然后在命令行输入以下命令： x=1790:10:1990;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4];

a0=[0.001,1]; % 初值

a=lsqcurvefit('myfun',a0,x,y); 得到x0=exp(a(2))，r=a(1)。

3． P79习题2：建立不允许缺货的生产销售存贮模型。生产速率为常数k，销售速率为常

数r，k r。在每个生产周期T内，开始一段时间（0 t T0）一边生产一边销售，后来一段时间（T0 t T）只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。每次生产准备费为c1, 每天每件产品贮存费为c2；并以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论

k r和k r的情况。

解答：

q(t)的图形如右。

一个周期内的存贮费c2乘于图中三角形的面积， 再加上生产准备费c1，得到一周期的总费用为：

QTQ(T T0)

(T) c1 c2 0

2 2

QT

c1 c2

2

(k r)T0T

c1 c2

2

t

rTr(k r)T2

而(k r)T0 r(T T0)，既有T0 ，故上式为：(T) c1 c2。

k2k

故单位时间总费用为： C(T)

c1c2r(k r)T 。 T2k

利用微分法求T使C(T)最小。使c(T)达到最小值的最优周期为：

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T

2c1k

。

c2r(k r)

当k>>r时，T

2c1

，相当于不考虑生产的情况．当k r时T ，因为产量被销c2r

量抵消，无法形成贮存量。 4． 解书本上P130的习题1。某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的

证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制： 1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）； 3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表 1

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

列出线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。 解答： （1）：设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5 万元，根据题目条件可列出如下模型：

max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5 x2+x3+x4>=400

x1+x2+x3+x4+x5<=1000

(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4 (9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5 把它改为符合Lingo语法的模型如下：

max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5; x2+x3+x4>=400; x1+x2+x3+x4+x5<=1000; 6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;

4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;

输入求解得到问题的结果和结论如下：

向A证券投资218.2万元，向C证券投资736.4万元，向E证券投资45.4万元，便可获得最大的收益29.836万元。

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（2）：我们只需把第一问的约束条件

x1+x2+x3+x4+x5<=1000 改为 x1+x2+x3+x4+x5<=1100。

输入求解得到问题的结果和结论如下：向A证券投资240万元，向C证券投资810万元，向E证券投资50万元，便可获得最大的收益32.82万元。（32.82－29.83636）－0.00275×100＝0.23364（万元）

显然100百万应全部用来第一问各项目的等比例投资。

（3）：我们只需修改第一问的目标函数约束条件

max =0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5分别为： max =0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5、 max =0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5。

运行后可得出结论：在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，此时利润为30.27273万元，投资不应该改变，若证券C的税前收益减少为4.8%，此时利润为29.424万元，投资应该改变。

注：此题还可以用敏感性分析解答(可参考书上P83的例1)，如下： 输入第(1)问的Lingo代码之后，

选择菜单：Lingo->Options->General Solver->Dual Computations: Prices & Range 选择菜单：Lingo->Range ，可得到敏感性分析报告，根据报告可得如下结论：

对于一问向A证券投资218.2万元，向C证券投资736.4万元，向E证券投资45.4万元，便可获得最大的收益29.836万元。

对于第二问：通过分析约束3）的DUAL PRICES：0.029836和RIGHTHAND SIDE RANGES 3中 ALLOW …… 此处隐藏：10823字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……