第一节z变换及收敛域

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第六章 离散系统的Z域分析主要内容: z变换的定义及其收敛域 z变换的性质 Z反变换 差分方程的z变换分析法 系统框图的z变换分析法 系统函数与系统特性

X

第

引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统 信号的时域运算，时域分解，微分方程 求解,包括时域经典法和卷积积分法。 2.离散时间信号与系统 序列的变换与运算，差分方程求解,包括 时域经典法和卷积和法.

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X

第

二.变换域分析法1.连续时间信号与系统： 频域分析、复频域分析。 微分方程转化为S(或jw)的代数方程 卷积积分转换为代数乘 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为Z代数方程。 卷积和转换为代数乘离散系统的Z变换分析

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连续系统的拉氏变换分析X

第

第一节连续信号等间隔采样

Z 变 换抽样信号k

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一.Z变换的提出—由拉氏变换引出xs (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t kT ) k

x(kT ) (t kT )

拉氏变换

X s ( s)

k

x(kT ) (t kT )e st dt

k

x(kT ) (t kT )e st dt x(kT )e skT k

引入连续复变量 e sT zX

k

取T 1

X S ( s)

x(k ) z k X ( z )

说明:

X ( z)

k

x(k ) z

k

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1.拉氏变换与z变换的关系

X ( z)

z e

sT

X s ( s)

离散信号的z变换→抽样信号的拉氏变换 2.离散信号的z变换是一个无穷幂级数.X ( z) k

x(k ) z

k

x( 2) z x( 1) z 2 1 z的 正 幂

x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 x(k ) z k z的 负 幂

问题:上式是否收敛呢?只有收敛, z变换才有意义.

X

第

二.序列Z变换及其收敛域1.定义

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X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k

Z [ x(k )] X ( z ) 1

k

双边 Z变换

Z [ X ( z )] x(k )因果Z变换(k<0 x(k)=0)X ( z) x(k ) z k k 0

x(k ) X ( z )z Re( z ) j Im( z ) z e ST j Im[ z ]Re[z ]X

反因果 Z变换(k≥0 x(k)=0)X ( z) k

x(k ) z

1

k

x( k ) z K k 1

第

2.Z变换存在条件 ：使序列x(k)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域. 即使幂级数收敛的z取值范围 收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

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即： x(k ) z k

k

M

X ( s)收敛的充要条件是绝对可积： 即： x(t )e σt

dt

Lim x(t )et

σt

0

X

讨论:按信号的三种情况

(1)因果序列的收敛域

X ( z)

k

x(k ) zk 1

k

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a 1 k a z X ( z ) a k z k lim k a k 0 k 0 z 1 z a 1 z 当 1,即 z a 时收敛 X z a z a z 1 j Im[ z ] z

x(k ) a k k

z a k ROC: z a z ak

圆外区域

Re[ z ]X

第

(2)反因果序列的收敛域

j Im[ z ]

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x(k ) a k 1 k 1

k 1

a Re[ z ] X ( z ) a k z k k 令m k X ( z) a m z m a m z m a 0 z 0 1 a m z m

m 1

m 0

m 0

z m 1 z 1 1 lim 1 m a m 0 a m

z 1 a

z 当 1,即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z a z z a 1 a

z a k 1 z ak

ROC: z a 圆内区域X

第

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z a k z ak

z a

圆外区域

z a k 1 z ak

z a

圆内区域

说明:相同的z 变换,对不同的收敛域，其时域信 号不同,故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。X

(3)双边序列的收敛

a k k

z z a z z a

第

j Im[ z ]

a k k 1

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x k b

k

k b 0k 0 k 0

Re[ z ]

或 x k b k k b k k 1 0 b 1

x k b1

k

z b k z bk

z b

Z变换 存在

k

z k b k 1 z b 11 b b

z b 1

b 1

x k b

k

Z变换 不存在

1

若 0 b 1

k

1 则ROC : b z b

环状区域

X

第

收敛域性质综述★因果序列的ROC为 z a1 的圆外区域； 即X(z) 最大的模值极点为半径的圆外区域 注意:收敛域是否包含z=∞需判断.

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★反因果序列的ROC为 z a 2 的圆内区域； 即X(z) 最小的模值极点为半径的圆内区域 注意:收敛域是否包含z=0需判断. ★双边序列的因果和反因果序列的收敛域存在公共域, ROC为 a1 z a2 圆环状,不存在公共区域z变换不存在. ★ ROC内不包含任何极点(以极点为边界);

★有限长序列的ROC为整个 z 平面 0 z X (因X(z)为有限幂级数)注意:是否包含z = 0 和z = 需判断。

第

与拉氏变换收敛域比较：Z变换的收敛域：以园为界

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拉氏变换收敛域：以平行于虚轴的直线为界拉氏变换 因果信号： 反因果信号： 双边信号： Z变换

σ0 σ0

z r z r r1 z r2环状取决于极点模值 X

1 σ2带状取决于极点的实

部

第

z平面与s平面的映射关系(自学)z esT

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e

( σ j )T

s平面的原点s平面 …… 此处隐藏：985字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……