1.2.3 直线与平面的位置关系（2）

教学目标：

1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离； 2．掌握直线与平面垂直的判定定理；

3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．

教材分析及教材内容的定位：

垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.

教学重点：

直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理； 教学难点：

直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.

教学方法：

问题探究，自主发现式

教学过程： 一、问题情境

1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理

2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？ 二、学生活动

1．圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？

2．平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直? (2)过一点有几个平面与已知直线垂直?

A1 D1 3．在长方体AC1中，棱BB1与底面ABCD 垂直．观察BB1与AB、BC 的位

置关系，由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？

4. 如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？ 三、建构数学

1．直线与平面垂直的定义．

A

B

D

C

B1C1

如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 记作：l⊥α 直线l 叫做平面的垂线， 平面α叫做直线l 的垂面． 垂线l和平面α的交点称为垂足. 2．在空间：

(1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3．直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

符号语言：

m ,n ,m n P

l

l m,l n

l

n m

图形语言：

简记为：线线垂直 线面垂直

P

4．点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之间的距离，叫做这个点到

这个平面的距离．

5.直线与平面垂直的性质：

（1）定义：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线； （2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b ；图形语言：

（用反证法证明）

6.直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离. 四、数学运用 1．例题.

例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：a⊥α，a∥b ； 求证：b⊥α .

例2 已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，M、N

证明：BC

⊥面PAB；(2)求证：MN⊥AB．

例3 已知直线l∥平面α，求证：直线l上各点到平面

α的距离相等.

l

2．练习.

（1）下列说法中正确的有 .

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直.

PDA

N

C

M

②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直. ③若A,B两点到平面α的距离相等，则直线AB∥α. ④已知直线a在平面α内，若l⊥α，则l⊥α. ⑤已知直线l和平面α，若l⊥α，则l和α相交.

（2）若AB的中点M到平面α的距离为4cm，点A到平面α的距离为6cm，则点B到平面α的距离为_______cm．

（3）如图，已知PA⊥ ,PB⊥ ,垂足分别为A、B，且 ∩ ＝l, 求证：l⊥平面PAB．

α A

l

（4）如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD,CB＝CD，求证：AC.

思考：能否构造出一个三棱锥A—BCD，使它的四个面均为直角三角形？ 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．直线与平面垂直的定义； 2．直线与平面垂直的判定定理； 3. 直线与平面垂直的性质：

C

B P

βA

B

D

（1）定义：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线； （2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

4. 证明线线垂直通常通过线面垂直来证明；而证明线面垂直则通过线线垂直来证明.