线性代数2_3逆矩阵

线性代数

逆矩阵(inverse matrix) 第3节 逆矩阵3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质

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第3节 逆矩阵3.1 逆矩阵的概念1. 逆矩阵概念的引入 解方程组 x1 + x2 = 3 x1 x2 = 1

1 1 x1 3 解：将其写成矩阵方程 1 1 x = 1 2

那么, 那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？ 的呢？

1/ 2 1/ 2 两边都左乘矩阵F得 两边都左乘矩阵 得 ( F = 1/ 2 1/ 2 ) 1 / 2 1 / 2 1 1 x1 1 / 2 1 / 2 3 1 / 2 1 / 2 1 1 x = 1 / 2 1 / 2 1 2 x1 1 1 0 x1 1 0 1 x = 2 x = 2 2 2 从而得方程组的解: x1 = 1 , x2 = 2 从而得方程组的解

.

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2. 可逆矩阵的定义 定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A,如果存在n阶矩阵 阶矩阵B, 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E, = = , 那么矩阵A称为可逆的 称为可逆的， 称为A的逆矩阵 那么矩阵 称为可逆的，而B称为 的逆矩阵. 称为 的逆矩阵. 逆矩阵的唯一性 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的. 如果矩阵 可逆， 可逆 的逆矩阵是唯一的 这是因为，如果 和 都是A的逆矩阵 的逆矩阵， 这是因为，如果B和B1都是 的逆矩阵，则有 AB=BA=E, AB1=B1A=E = = , = 于是 B =BE =B(AB1) =( BA)B1 =EB1 =B1 .

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2. 可逆矩阵的定义 定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A,如果存在n阶矩阵 阶矩阵B, 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E, = = , 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为 的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆 可逆， 的逆矩阵是唯一的. 定理 如果矩阵 可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 即若AB= = = A的逆矩阵记为 1 . 即若 =BA=E ,则B=A 1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为 由于A, 位置对称 位置对称， 互逆， 由于 ，B位置对称，故A,B互逆，即B=A 1, A=B 1. 如 ， 互逆 = , = 1 1 3 A = 2 1 4 1 2 4 4 2 1 B = 4 1 2 3 1 1

可以验证， AB = BA = E 可以验证，《线性代数》 返回 下页 结束

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比较—逆矩阵与倒数 比较 逆矩阵与倒数在

数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有aa 1 = a 1a = 1,

的倒数， 的逆); 其中 a 1 = 1 为a 的倒数， 或称 a 的逆); ( a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1,那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵 -1 , ,那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 使得

AA 1 = A 1 A = E ,

A 1即为 A 的可逆矩阵或逆阵 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵《线性代数》 返回 下页 结束

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1 2 , 求 A 的逆阵 . 例1 设 A = 1 0 解 利用待定系数法 a b 是 A 的逆矩阵 则 的逆矩阵, 设 B= c d 2 1 a b 1 0 2a + c 2b + d 1 0 AB = = = b 0 1 1 0 c d 0 1 a

2a + c = 1, 2b + d = 0, a = 0, b = 1, 《线性代数》

a = 0, b = 1, c = 1, d = 2.返回 下页

0 1 ∴B = 1 2

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例1

设

2 A= 1

1 , 求 A 的逆阵 . 0

又因为

0 1 B= 1 2

AB

BA

2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , = = 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1 所以

0 1 A = . 1 2 1

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3.2 方阵可逆的充分必要条件3. 伴随矩阵

a11 A = a21 定义2 定义 由矩阵 an1 A11 A12 A1n A11 A12 *= A A1n

a12 a1n a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵 an2 ann 特别注意 A21 An1 A*的元素 A*的元素 A22 An2 排列顺序 A2n Ann A21 A22 A2n An1 An2 Ann下页 结束

称为矩阵A的伴随矩阵，记为 称为矩阵 的伴随矩阵，记为A* .即

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1 1 1 例1. 求 A = 1 2 3 0 1 1

的伴随矩阵A*. 的伴随矩阵

解: 三阶矩阵A的伴随矩阵 为 三阶矩阵 的伴随矩阵A*为 的伴随矩阵

A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A331+ 2

A11 = ( 1)

1+1

2 3 1 1

= 5 , A12 = ( 1)

1 3 0 1

= 1

同理 A13=1, A21=-2, A22=1, A23=-1, A31=-1, A32=2, A33=1 , , , , , , 5 2 1 * 因此A的伴随矩阵 因此 的伴随矩阵 A = 1 1 2 1 1 1 《线性代数》 返回 下页 结束

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(非 4. (非)奇异矩阵 定义3 对于n阶矩阵 ，若行列式|A|=0,则称A是奇异的 定义 对于 阶矩阵A,若行列式 = ,则称 是 阶矩阵 (或降秩的或退化的 ，否则称 为非奇异的 或满秩的或非退 或降秩的或退化的), 或降秩的或退化的 否则称A为非

奇异的(或满秩的或非退 化的) 化的 . 5. 方阵可逆的充分必要条件

定理2 阶矩阵 为可逆的充分必要条件是|A|≠ , 阶矩阵A为可逆的充分必要条件是 定理 n阶矩阵 为可逆的充分必要条件是 ≠0,而且 1 A 1 = — A*,其中 *为方阵 的伴随矩 …… 此处隐藏：2690字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……