12-13学年高一数学：3.3.1 几何概型2 课件(人教A版必修3)

第三章3.3.1 几何概型

思路方法技巧

命题方向1

与长度有关的几何概型问题

与长度有关的几何概型问题综述： (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域长度 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度

(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机 地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解. (3)几何概型的计算步骤： ①判断是否为几何概型； ②确定并计算基本事件空间； ③计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量； ④代入公式计算.

(4)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后 找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中，确定边界点 是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.

[特别提醒] 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关 系.要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不 等关系.

[例1]

如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光

线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D,问A与C、D, B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

[分析]

在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基

本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都 是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何 概型条件.

[解析]

记事件E:“A与C、D,B与C、D之间的距离都 1 3 =

不小于10米”,把AB三等分，由于中间长度为30× 10 1 10(米),所以P(E)= = . 30 3

规律总结：将每个基本事件理解为从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一 样，而一样随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的 某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来 求解.

某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站 的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分 钟的概率.

[分析]

把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用

几何概型求解.

[解析]

设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到

达，线段T1T2的长度为15,设T是线段T1T2上的点，且T1T= 5,T2T=10.如图所示.

记等车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的 时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15, T1T的长度 5 1 区域T1T的长度为5.所以P(A)= = = . T1T2的长度 15 3 1 答：乘客等车时间大于10分钟的概率是3.

规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得 直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15], 分子为区间(0,5).

命题方向2

与面积有关的几何概型问题

与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域面积 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域面积