江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.

A）∪B= ．1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁

U

2．（5分）函数的最小正周期为．

3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））= ．

4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．

5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）= ．

6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）= ．

（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．

8．（5分）函数y=log

2

9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y= ．

10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．

11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．

12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ．

13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f （）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．

14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．

（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；

（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．

16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．

（1）求cos（α+）的值；

（2）求cos（2α+π）的值．

17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：

理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．

（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．

（1）若f（）=，求的值；

（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．

19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log

a （2+t﹣2），g（）=log

a

，其中0＜a＜1．

（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；

（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；

（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．

20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．

（1）当m=0时，求f（）的值；

（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；

（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.

1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁

A）∪B= {0，2，3} ．

U

【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，

则∁

A={0，3}，

U

A）∪B={0，2，3}．

所以（∁

U

故答案为：{0，2，3}．

2．（5分）函数的最小正周期为π．

【解答】解：函数，

∵ω=2，

∴T==π．

故答案为：π

3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））= 5 ．

【解答】解：∵函数f（）=，

∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，

f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．

故答案为：5．

4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．

【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），

∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，

故答案为：﹣．

5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）= 4 ．

【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），

∴=，解得：α=﹣2，

故f（）=﹣2，f（）==4，

故答案为：4．

6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，

则cosθ===﹣，∴θ=，

故答案为：．

7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）= ．

【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，

∴sinα=，

∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，

故答案为：．

8．（5分）函数y=log

（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．

2

【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，

∴1≤3cos+1≤4，

∴0≤log

（3cos+1）≤2，

2

故答案为[0，2]．

9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y= ﹣．

【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，

∴=，

所以=﹣，y=，+y=﹣．

故答案为：﹣．

10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin（4+）．

【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，

得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，

将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），

则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）

故答案为：sin（4+）．

11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．

【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，

∴，求得0＜a＜2，

故答案为：（0，2）．

12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ= ．

【解答】解：∵═==，∴tanα=，

又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．

13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f （）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，

∵当＞0时，f（）=4﹣2，

∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，

∵函数f（）是奇函数，

∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），

则f（）=4+2，＜0，

则函数f（）=，

则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，

当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，

当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），

若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，

则﹣2﹣2≤t≤﹣2，

即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，

故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]

14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．

【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，

∴T=≥，即ω≤2．

∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，

由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，

即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．

解得+≤ω≤（+），∈．

求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．

综上可得，≤ω≤，

故答案为：[，]．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．

（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；

（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．

【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．

∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．

（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，

∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．

16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．

（1）求cos（α+）的值；

（2）求cos（2α+π）的值．

【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．

∴cos（α+）==．

（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+） cos（α+）=2••=，

∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=

﹣=．

17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：

理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．

（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．

【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；

所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；

（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，

，

∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N

+

y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y

=245万元．

ma

18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．

（1）若f（）=，求的值；

（2）若不等式f （2m ﹣mcos θ）+f （﹣1﹣cos θ）＜f （0）对所有θ∈[0，

]都成立，求实数m 的取值范围．

【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=

，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，

即2=，所以=﹣2…6分

（2）因为f （﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f （）， 所以f （）是定义在R 上的奇函数，…7故f （0）=0，由

f （2m ﹣mcos θ）+f （﹣1﹣cos θ）＜f （0）=0得：f （2m ﹣mcos θ）＜f （1+cos θ）…8分， 又f （）=（）﹣2在R 上单调递减，…9分，

所以2m ﹣mcos θ＞1+cos θ对所有θ∈[0，

]都成立，…10分，

所以m ＞，θ∈[0，]，…12分， 令μ=cos θ，θ∈[0，

]，则μ∈[0，1]， y=

=﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m 的取值范围是m ＞2…16分

19．（15分）已知t 为实数，函数f （）=2log a （2+t ﹣2），g （）=log a ，其中0＜a ＜1．

（1）若函数y=g （a+1）﹣是偶函数，求实数的值；

（2）当∈[1，4]时，f （）的图象始终在g （）的图象的下方，求t 的取值范围；

（3）设t=4，当∈[m ，n]时，函数y=|f （）|的值域为[0，2]，若n ﹣m 的最小值为，求实数a 的值．

【解答】解：（1）∵函数y=g （a+1）﹣是偶函数，

∴log a （a ﹣+1）+=log a （a+1）﹣，对任意∈R 恒成立，

∴2=log a （a+1）﹣log a （a ﹣+1）=log a （

）= ∴=，

（2）由题意设h （）=f （）﹣g （）=2log a （2+t ﹣2）﹣log a ＜0在∈[1，4]恒成立， ∴2log a （2+t ﹣2）＜log a ，

∵0＜a ＜1，∈[1，4]，

∴只需要2+t﹣2＞恒成立，

即t＞﹣2++2恒成立，

，

∴t＞（﹣2++2）

ma

令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，

=1，

∴（﹣2++2）

ma

∴t的取值范围是t＞1，

（3）∵t=4，0＜a＜1，

（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∴函数y=|f（）|=|2log

a

∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，

∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），

令|2log

（2+2）|=2，得=或，

a

又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，

∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，

∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，

∴a=．

20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．

（1）当m=0时，求f（）的值；

（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；

（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos （+）=cos2，

当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，

则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；

（2）∵∈[﹣，]，

∴|+|===2cos，

则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，

令t=cos，则≤t≤1，

则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，

①当＜，即m＜1时，

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，

当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，

③当＞1，即m＞2时，

当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．

（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，

∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，

则，得，则≤m＜，

即实数m的取值范围是≤m＜．