第四节

数系的扩充与复数的引入

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数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中 a,b 分别是它的 实部和 虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数；若 b≠0,则 a+bi 为虚数；若 a=0且b≠0数学

,则 a+bi 为纯虚数.下一页 末页

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(2)复数相等：a+bi=c+di a=c且b=d (a,b,c, d∈R).

(3)共轭复数：a+bi 与 c+di 共轭 a=c,b=-d (a, b,c,d∈R).(4)复数的模： 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模，记 作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

a2+b2 .

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2.复数的几何意义一一对应 (1)复数 z=a+bi b)(a, b∈R). 复平面内的点 Z(a,

一一对应 (2)复数 z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 OZ .

3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ;

②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ;数学

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③乘法：z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ;z1 a+bi a+bi c-di ④除法： = = = z2 c+di c+di c-di

i(c+di≠0). (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

ac+bd bc-ad + c2+d2 c2+d2

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1.判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还 需考虑它的实部是否有意义.

2.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b, c,d∈R 的前提条件.

3.z2<0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z=3i 时 z2=-9<0.

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[试一试] 1.(2014· 惠州调研)i 是虚数单位，若 z(i+1)=i,则|z|等于(A.1 2 C. 2 3 B. 2

)

1 D. 2 i 1-i 1+i i 2 解析：由题意知 z= = = ,|z|= , 2 2 i+1 i+1 1-i 故选 C .

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2.(2013· 天津高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)· (1+i)=bi,则 a+bi=________.

解析：因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,所以 a-1=0, a+1=b, a=1, 解得 b=2,

所以 a+bi=1+2i.

答案：1+2i

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1.把握复数的运算技巧

(1)设 z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是 解决复数问题的常用方法. (2)在复数代数形式的四则运算中， 加、 减、 乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化.

2.掌握复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. 1+ i 1- i 2 (1)(1± i) =± 2i; =i; =-i; 1- i 1+ i

(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,+ + + + + +

n∈N+.数学

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