博弈论教程

§ 第三章 混合策略纳什均衡 混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法 支付等值法 反应函数法 多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例

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§剪刀、石头、布的游戏 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏. 玩二十次,将结果记下来 赢了十次以上同学举起手来 告诉我你有什么秘决 怎么样才能赢得多？

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§剪刀、石头、布的游戏 我们知道—— 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博 弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们 的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法，这个博 弈没有纳什均衡。 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随 意选择，结果都一样呢？

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§剪刀、石头、布的游戏 答案是否定的。 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的， 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略 组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。

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§剪刀、石头、布的游戏 因此，秘决在于—— 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜 测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好， 预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢 得这个博弈。

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§ 第三章 混合策略纳什均衡 纯策略(pure strategies):如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。 混合策略(mixed strategies):如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。

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§ 期望支付 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ,并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn,那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均，也就是EUA

p 1 X 1 p 2 X 2 ... p n X n

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政府和流浪汉的博弈 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工

作。他 们获得的支付如图所示：流浪汉

寻找工作救济 政府 不救济

游闲

(3,2) (-1,3)

(-1,1) (0,0)

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政府和流浪汉的博弈 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这 个博弈有没有纯策略的纳什均衡？ ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直 采用纯策略吗？ 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ ——使自己的预期支付最大化。 ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针 对性的策略，使自己的支付增加。

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求解混合策略纳什均衡1、假定政府采用混合策略： G ,1

1 的概率选择不救济。

即政府以 的概率选择救济，

2、流浪汉的混合策略为： L

,1

的概率选择寻找工作，

即流浪汉以

1 的概率选择游闲。

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解一:支付最大化 那么，政府的期望效用函数为：v G

3 5 1 G

,

L

1 1

1

0 1

对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件 为： vG 5 1 0

0 .2

就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略— —流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率选择 游闲。

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解一:支付最大化 流浪汉的期望效用函数为：

L

2 1 0

0 .5

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解二:支付等值法 政府选择救济策略 1期望效用 v G 1,

政府选择不救济策略 0

期望效用 1 1

3

v G 0 ,

1 0 1

4 1

如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即： v G 1, 4 1 v G 0 ,

0 .2

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解二:支付等值法如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：

v L 1, 1 3 v L 0 ,

0 .5

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政府和流浪汉的博弈 如果政府救济的概率小于0.5; 则流浪汉的最优选择是寻找工作； 如果政府救济的概率大于0.5; 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于0.5; 流浪汉的选择无差异。

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讨论 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说，一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的，而是由他的对手的支付决定的。 正是由于这个原因，许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令

人满意的概念。 事实上，正是因为它在几个(或全部)策 略之间是无差异的，他的行为才难以预测， 混合策略纳什均衡才会存在。