线性代数考试卷

2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷）

…………………………5. 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 [ ] (A) R (A)= R (B)； (B ) R (B)=R (A, B)； (C ) R (A)=R (A, B)； (D ) R (A)<R (A, B).

a11

6. A a21

a31

a12a22a32

a13 a21

a23,B a11

a33 a31 a11

a22a12a32 a12

0

,P1 1a13

a33 a13 0a23

100

0 1

0,P2 0

1 1

010

0

0,则[ ]

…

…

1

课 程 线性代数 授课教师 考试时间 2011 年 7 月 6 日 考试班级

…… (B ) B=P2AP1； (C) B=A P1P2； (D) B=P1P2A.

…

答三、计算题（第1、2题每小题10分，第3小题12分，共32分） …

…

…… ……1a1a2a3

…一、填空题（每小题3分，共18分）

…

T

1. 计算行列式1a1 b1a2a3

装1. 设 1,1,1,1 与 k,k 1,k 5,k T

正交，则k .

1aa.

12 b2a3……

1a1a2a3 b3

… 1

01

… …2. 设A 0

… 0

2 ，则(A+3E )-1 (A2-9E )=

… 001

.

…

… 120 … 订3. 设A

0 -1

… 1

3 ，则A=

… 0

2

.

…

…4. 已知向量组

1 (1,2, 1,1)T, 2 (2,0,t,0)T, 3 (0, 4,5, 2)T线性相关，则t = . … …5. 向量组 1 (1,3,0,5)T,

2 (1,2,1,4)T, 3 (1,1,2,3)T, 4 (1, 3,6, 1)T的最大无关组为 . … x1 2x2 x3 2x4 0… 6. 已知5阶矩阵A与对角矩阵相似，且3是A的二重特征值，则R (A -3E. 2. 求齐次线性方程组 … x2 x3 x4 0的基础解系及通解.

… x1

x2 x4 0线二、选择题（每小题3分，共18分）

… …

…1. 若矩阵A有一个r阶子式不为零，则下列结论正确的是 [ ]

(A) R (A)<r； (B) R (A) r； (C) R (A)>r； (D) R (A) r.

… …2. 设A，B为同阶可逆矩阵，则下列结论一定成立的是 [ ] … (A) AB= BA； (B ) 存在可逆矩阵P，使P-1 AP =B；

…… (C ) 存在可逆矩阵C，使C T

AP =B； (D ) 存在可逆矩阵P和Q，使P-

AQ=B. …3. 若A与B均为n阶非零方阵，且AB=O，则 [ ]

……(A) A的列向量组线性相关； (B ) A的列向量组线性无关； (C ) R (A)=0； (D ) R (B)=0. …4. 已知xT

T

1，x2，x3是线性方程组Ax=b的三个解向量，其中x1=(1,1,1,1)，x2+ x3=(3,0,3,2)，

……R(A)=3，则方程组Ax=b的通解为 [ ] … (A ) c (2,-1,2,1) T+ (1,1,1,1) T，c∈R； (B ) c (1,-2,1,0) T+ (1,1,1,1) T，c∈R；

… (C ) c (3/2,0,3/2,1) T+ (1,1,1,1) T，c∈R； (D ) c 1(3/2,0,3/2,1) T+ c 2 (1,1,1,1) T，c 1, c 2∈R.

第 1 页， 共2页

…

…

…

题………

……不

…

……

…

…要

…

……

…

…超

…

…

………过…

…

……

…

此…

…

……

…

线…

…

……

…

…

线性代数考试卷

…… 1

3. 已知矩阵P

1 2 1

,B 1 00 -1

满足P AP=B，计算： 2

5

3

五、（共12分）已知向量组

TTT

A: 1 (1,2,0,3), 2 (0,1,1,2), 3 (1,1,0,a);

TTT

B: 1 (1,1, 3,1), 2 ( 2,1,9,4), 3 (4,1, 15,b),

(1) A的特征值与特征向量； (2) |-A|； (3) A. ……… …… … …… … …… … …… … 装…

…

……………………订… … …… … … …… … …线 … …… … …… … …… … …… … …… …

四、（共12分）试求一正交变换将二次型

f(x,y,z) 2x2 3y2 3z2

4yz化为标准型.

第 2 页，(1) a，b取何值时，向量组B可由向量组A线性表示；

(2) 求向量组B由向量组A线性表示的系数矩阵.

六、证明题（共8分）已知n阶矩阵A满足等式A2

-3A+2E=O，证明：

(1) A的特征值只能取1或2； (2) A的列向量组线性无关.

共2页

…………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………