【数学】3.2《立体几何中的向量方法(二)》课件(新人教A版选修2-1)

立体几何中的向量方法( 立体几何中的向量方法(二)知识要点 引入

思考1 思考 练习巩固

例1

例1的思考 的思考

作业:课本 P 作业:

120

练习 2,3 P

121

习题 3

立体几何中的向量方法( 立体几何中的向量方法(二)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 大小及其位置关系.其中点到直线、 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 要问题. 上一节, 我们认识了 直线的方向向量及平面 上一节 , 我们 认识了直线的方向向量及平面 认识了 的法向量的概念 发现可以利用这两个向量 的概念, 两个向量的运 的法向量 的概念 , 发现可以利用这 两个向量 的运 特别是数量积) 解决点 直线、平面之间的平 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 垂直、夹角等问题. 行、垂直、夹角等问题.

问题: 已知不共线的三点坐标, 问题 : 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , r 的一个法向量. C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n = (4, 3, 6) r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) r uuu r uuur r uuu r uuur n 则 n ⊥ AB , ⊥ AC .∵ AB = ( 3, 4, 0) , AC = ( 3, 0, 2) 3 ( x , y , z ) ( 3, 4, 0) = 0 3 x + 4 y = 0 y = 4 x ∴ 即 ( x , y , z ) ( 3, 0, 2) = 0 3 x + 2 z = 0 ∴ z = 3 x r 2 取 x = 4 ,则 n = (4, 3, 6) r 的一个法向量. ∴ n = (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.方法小结

问题:如何求平面的法向量 问题 如何求平面的法向量? 如何求平面的法向量 r ⑴设平面的法向量为 n = ( x , y , z )找出(求出) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 r r 坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 r r n a = 0 组 r r n b = 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

练习巩固

练习: 练习: uuu r uuur 1.已知 1. 已知 AB = (2, 2,1), AC = (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单位 1 2 2 1 2 2 法向量. 法向量. ( , ,) ( , , ) 或 .3 3 3 3 3 3

2. 若 两 个 平 面 α , β 的 法 向 量 分 别 是 r r u = (1, 0,1), v = ( 1, 1, 0) , 则这两个平面所成的锐二面 o z 角的度数是________. 角的度数是________. 60

思考题 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,

AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.

y

x

1详细答案 详细答案

思考题

练习: 练习: uuu r uuur 1.

已 知 AB = (2, 2,1), AC = (4, 5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量. 的单位法向量.r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) r uuu r uuur r n 则 n ⊥ AB , ⊥ AC . y = 2 x ( x , y, z ) (2, 2,1) = 0 2 x + 2 y + z = 0 ∴ ① ∴ 即 z = 2x ( x , y, z ) (4,5, 3) = 0 4 x + 5 y + 3 z = 0

1 ②∴由①②得 ∵ x + y + z = 1 ②∴由①②得 x = ± 3 1 2 2 1 2 2 单位法向量 法向量为 ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( , ,) ( , , ) 或 . 3 3 3 3 3 32 2 2

思考题.如图, ⊥ =1, 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, , ⊥ , = =1

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. = 余弦值. - z 分析: 分析: 若用几何法本题不太好处 注意到适当建立空间直角坐 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理, 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理, 虑尝试用向量法处理 ,从而把问 x 题转化为向量运算问题. 题转化为向量运算问题.

y

建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), uuu r uuu r uuu r uuu r AP =(0,0,1), AB = ( 2,1,0), CB = ( 2,0,0), CP = (0, 1,1) ,1答案 答案 方法小结

ur 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),

思考题.如图, ⊥ =1, 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, , ⊥ , = =1

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. = 余弦值. - 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

z

y

∴

uuu r uuu r uuu r uuu r AP =(0,0,1) AB = ( 2,1,0), CB = ( 2,0,0), r = (0, 1,1) , =(0,0,1), urx uuuCP ur m AP = 0 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 ur uuu r m AB = 0 ur ( x , y , z ) (0, 0,1) = 0 y = 2x ( x , y , z ) ( 2,1, 0) = 0

r uuu r r n CB = 0 设平面 PBC 的法向量为 n = ( x ′, y′, z ′ ) , 则 r uuu r n CP = 0 r ′ =0 ′ ′ ′ x

∴

z=0

,令 x=1,则 m =(1, 2, 0) ,

vv 3 v v mn 3 , = 二面角为锐角∴ PB∴cos mn = v v = ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 | m|| n| 3 3

( x , y , z ) ( 2,0,0) = 0 ∴ 令 y′ = 1, n = (0, 1, 1) ( x′, y′, z′) (0, 1,1) = 0 y′ = z′

刚才的思考具有一般性, 刚才的思考具有一般性 , 当解空间图形问题几何法难 进行时,可以尝试运用空间向量( 坐标)来处理(三步曲): 进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 )建立立体图形与空间向量的联系， 表示问题中涉及的点、直线、平面， 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助 ； 转化为向量问题 还常建立坐标系来辅助); 还常建立坐标系

来辅助…… 此处隐藏：4048字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……