立体几何中的向量方法( 立体几何中的向量方法(二)知识要点 引入

思考1 思考 练习巩固

例1

例1的思考 的思考

作业:课本 P 作业:

120

练习 2,3 P

121

习题 3

立体几何中的向量方法( 立体几何中的向量方法(二)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 大小及其位置关系.其中点到直线、 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 要问题. 上一节, 我们认识了 直线的方向向量及平面 上一节 , 我们 认识了直线的方向向量及平面 认识了 的法向量的概念 发现可以利用这两个向量 的概念, 两个向量的运 的法向量 的概念 , 发现可以利用这 两个向量 的运 特别是数量积) 解决点 直线、平面之间的平 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 垂直、夹角等问题. 行、垂直、夹角等问题.

问题: 已知不共线的三点坐标, 问题 : 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , r 的一个法向量. C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n = (4, 3, 6) r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) r uuu r uuur r uuu r uuur n 则 n ⊥ AB , ⊥ AC .∵ AB = ( 3, 4, 0) , AC = ( 3, 0, 2) 3 ( x , y , z ) ( 3, 4, 0) = 0 3 x + 4 y = 0 y = 4 x ∴ 即 ( x , y , z ) ( 3, 0, 2) = 0 3 x + 2 z = 0 ∴ z = 3 x r 2 取 x = 4 ,则 n = (4, 3, 6) r 的一个法向量. ∴ n = (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.方法小结

问题:如何求平面的法向量 问题 如何求平面的法向量? 如何求平面的法向量 r ⑴设平面的法向量为 n = ( x , y , z )找出(求出) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 r r 坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 r r n a = 0 组 r r n b = 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

练习巩固

练习: 练习: uuu r uuur 1.已知 1. 已知 AB = (2, 2,1), AC = (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单位 1 2 2 1 2 2 法向量. 法向量. ( , ,) ( , , ) 或 .3 3 3 3 3 3

2. 若 两 个 平 面 α , β 的 法 向 量 分 别 是 r r u = (1, 0,1), v = ( 1, 1, 0) , 则这两个平面所成的锐二面 o z 角的度数是________. 角的度数是________. 60

思考题 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,

AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.

y

x

1详细答案 详细答案

思考题

练习: 练习: uuu r uuur 1.

已 知 AB = (2, 2,1), AC = (4, 5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量. 的单位法向量.r 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) r uuu r uuur r n 则 n ⊥ AB , ⊥ AC . y = 2 x ( x , y, z ) (2, 2,1) = 0 2 x + 2 y + z = 0 ∴ ① ∴ 即 z = 2x ( x , y, z ) (4,5, 3) = 0 4 x + 5 y + 3 z = 0

1 ②∴由①②得 ∵ x + y + z = 1 ②∴由①②得 x = ± 3 1 2 2 1 2 2 单位法向量 法向量为 ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( , ,) ( , , ) 或 . 3 3 3 3 3 32 2 2

思考题.如图, ⊥ =1, 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, , ⊥ , = =1

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. = 余弦值. - z 分析: 分析: 若用几何法本题不太好处 注意到适当建立空间直角坐 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理, 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理, 虑尝试用向量法处理 ,从而把问 x 题转化为向量运算问题. 题转化为向量运算问题.

y

建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), uuu r uuu r uuu r uuu r AP =(0,0,1), AB = ( 2,1,0), CB = ( 2,0,0), CP = (0, 1,1) ,1答案 答案 方法小结

ur 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),

思考题.如图, ⊥ =1, 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, , ⊥ , = =1

BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. = 余弦值. - 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

z

y

∴

uuu r uuu r uuu r uuu r AP =(0,0,1) AB = ( 2,1,0), CB = ( 2,0,0), r = (0, 1,1) , =(0,0,1), urx uuuCP ur m AP = 0 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 ur uuu r m AB = 0 ur ( x , y , z ) (0, 0,1) = 0 y = 2x ( x , y , z ) ( 2,1, 0) = 0

r uuu r r n CB = 0 设平面 PBC 的法向量为 n = ( x ′, y′, z ′ ) , 则 r uuu r n CP = 0 r ′ =0 ′ ′ ′ x

∴

z=0

,令 x=1,则 m =(1, 2, 0) ,

vv 3 v v mn 3 , = 二面角为锐角∴ PB∴cos mn = v v = ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 | m|| n| 3 3

( x , y , z ) ( 2,0,0) = 0 ∴ 令 y′ = 1, n = (0, 1, 1) ( x′, y′, z′) (0, 1,1) = 0 y′ = z′

刚才的思考具有一般性, 刚才的思考具有一般性 , 当解空间图形问题几何法难 进行时,可以尝试运用空间向量( 坐标)来处理(三步曲): 进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 )建立立体图形与空间向量的联系， 表示问题中涉及的点、直线、平面， 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助 ； 转化为向量问题 还常建立坐标系来辅助); 还常建立坐标系

来辅助

(化为向量问题或向量的坐标问题) 化为向量问题或向量的坐标问题)(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位 )通过向量运算，研究点、直线、 置关系以及它们之间距离和夹角等问题； 置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

(进行向量运算) 进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 )把向量的运算结果“翻译” 义. 回到图形) (回到图形)

例1:如图 ：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以 ：如图1:一个结晶体的形状为四棱柱，其中，

顶点A为端点的三条棱长都相等， 顶点 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角 为端点的三条棱长都相等 都是60° 都是 °,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的 长与棱长有什么关系？ 长与棱长有什么关系？ 如图1,不妨设 解:如图 不妨设 如图AB = AA1 = AD = 1 , A1 ∠BAD = ∠BAA1 = ∠DAA1 = 60°

D1 B1 D C

C1

化为向量问题 依据向量的加法法则， uuuu uuu uuu uuuu r r r r

AC1 = AB + AD + AA1 uuuu r uuu uuu uuuu r r r

A B uuuu 2 r uuu uuu uuuu 2 r r r 图1 AC1 = ( AB + AD + AA1 ) 进行向量运算 uuu 2 uuur 2 uuuu 2 r r uuu uuu uuu uuuu uuu uuuu r r r r r r = AB + AD + AA1 + 2( AB AD + AB AA1 + AD AA1 ) = 1 + 1 + 1 + 2(cos 60° + cos 60° + cos 60° ) = 6 uuuu r 回到图形问题 所以| AC1 |= 6

这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的课外思考(1)(2)(3) 课外思考

6 倍。

思考： 本题中四棱柱的对角线BD 的长与棱长有什么关系？ 思考： 本题中四棱柱的对角线 1的长与棱长有什么关系？ (1)本题中四棱柱的对角线D1

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等， (2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 如果一个四棱柱的各条棱长都相等 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?

C1 B1

A1 C

D

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示 求两个平行平面的距离， 提示： 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离) 面的距离或两点间的距离)r uuuu r uuu r uuu

思考(1)分析 BD1 = BA + BC + BB1 思考 分析: 分析

r uuuu

其中 ∠ABC = ∠ABB1 = 120° , B1 BC = 60° ∠

易知对角线 BD 的长与棱长的关系 1 的长与棱长的关系.

思考(2)分析 思考 分析: 设 AC 1 = a , = AD = AA1 = x , BAD = ∠ BAA1 = ∠ DAA1 = α 分析 AB ∠ r r r r r r r r r uuuu r uuuu uuu uuu uuuu uuuu 2 uuu 2 uuu 2 uuuu 2 uuu uuu uuu uuuu uuu uuuu r r r r 由 AC1 = AB + AD + AA1 QAC1 = AB + AD + AA + 2( AB AD+ AB AA + AD AA ) 1 1 1

即 a 2 = 3 x

2 + 2(3 x 2 cos α ) ∴ x =

1 a 3 + 6cos α

这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长. ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长思考(3)下一节分析 思考 下一节分析

思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少 分析： 分析：面面距离转化为点面距离来求解： 过 A1点作 A1 H ⊥ 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .A1 B1 D B C D1 C1

r uuuu uuur uuuu uuu uuu r r r uuuu uuu uuuu uuu r r r r AA1 AC = AA1 ( AB + BC ) = AA1 AB + AA1 BC = cos 60° + cos 60° = 1. uuuu uuur r AA AC 1 6 r cos ∠A1 AC = uuuu 1 uuur = ∴ ∴ sin ∠A1 AC = 3 | AA1 | | AC | 3

H 由 ∠A1 AB = ∠A1 AD = ∠BAD 且 AB = AD = AA1 A ∴ H 在 AC上. uuur 2 uuu uuu 2 r r AC = ( AB + BC ) = 1 + 1 + 2cos 60° = 3 ∴ AC = 3

∴

如何用向量法求点到平面的距离? 如何用向量法求点到平面的距离

6 6 ∴ 所求的距离是 . A1 H = AA1 sin ∠A1 AC = 3 3

如何用向量法求点到平面的距离? 如何用向量法求点到平面的距离思考题: 如图， E、 课外思考题: 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 4, 、 , F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD,且 GC 的中点， ⊥ 、 , z 的距离. =2,求点 B 到平面 EFG 的距离 ， G 如图， 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. - . 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), , , , D(4,0,0),E(2,4,0), , , C D F(4,2,0),G(0,0,2). , uuur . x uuurEF = (2, 2, 0), EG = ( 2, 4, 2), uuu r BE = (2, 0, 0)

F E B

设平面 EFG 的一个法向量 A r 为 n = ( x, y, z )

作业:课本 P 作业:

120

练习 2,3 P

y

121

习题 3

r uuur r uuu r n ⊥ EF, ⊥ EG n 2 x 2 y = 0 ∴ 2 x 4 y + 2 = 0 r 1 1 ∴ n = ( , ,1) 3 uuur 3

zG

xF A

D

C

v | n BE| 2 11 ∴d = = v 11 n

y r 若 平 面 α 的 斜 线 AO 交 α 于 点 O , e是 单 位 法 向 量 , uuur r 则 A到 平 面 α 的 距 离 为 d = | AO e |作业:课本 P 作业:

评注 :

E

B

120

练习 2,3 P

121

习题 3