高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数

几种常见函数的导数

●教学目标

(一)教学知识点

1.公式1 C ′=0(C 为常数)

2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q )

3.公式3 (sin x )′=cos x

4.公式4 (cos x )′=－sin x

5.变化率

(二)能力训练要求

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.

2.学会利用公式，求一些函数的导数.

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

(三)德育渗透目标

1.培养学生的计算能力.

2.培养学生的应用能力.

3.培养学生自学的能力.

●教学重点

四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x .

●教学难点

四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法

建构主义式

让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.

Ⅱ.讲授新课

［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.

1.y =C (C 是常数)，求y ′.

［学生板演］解：y =f (x )=C

∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0

x

y ∆∆=0 y ′=C ′=x

y x ∆∆→∆0lim =0，∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *)，求y ′.

［学生板演］解：y =f (x )=x n

∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n

高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数

=x n +1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+n n

C (Δx )n －x n =1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+n n

C ·(Δx )n x

y ∆∆=1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+n n C ·(Δx )n －1 ∴y ′=(x n )′=x

y x ∆∆→∆0lim =0lim →∆x （1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+n n C (Δx )n －1)=1C n x n －1=nx n －1 ∴y ′=nx n －1

3.y =x －n (n ∈N *)，求y ′.

［学生板演］

解：Δy =(x +Δx )－n －x －n =n n n

n n n x x x x x x x x x )()(1)(1∆+∆+-=-∆+ n n n n

n n n n n x

x x x x x x x )()(C )(C C 22211∆+∆++∆+∆--- n n n n n n n n n

x

x x x x x x x y )()(C C C 12211∆+∆++∆+-=∆∆--- y ′=])()(C C C [lim lim 1221100n n n n n n n n n x x x

x x x x x x x y ∆+∆++∆+-=∆∆---→∆→∆ 111C ----=⋅-=n n n n n nx x

x x ∴y ′=－nx －n －1

※4.y =sin x ，求y ′(叫两位同学做)

［学生板演］

［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin x

x

x x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ∴y ′=x x x x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim 00

高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数

x x x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x cos 4

)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim

22

00200+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=→∆→∆→∆→∆ =－2sin x ·1·0+cos x =cos x

∴y ′=cos x

［生乙］Δy =sin(x +Δx )－sin x 2

sin )2cos(2x x x ∆∆+= x

x x x x y ∆∆∆+=∆∆2sin )2cos(2 ∴y ′=2

2sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim lim 000x x x x x

x x x x y x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆→∆→∆→∆ x x

x x x x x cos 2

2sin lim )2cos(lim 00=∆∆∆+=→∆→∆ ∴y ′=cos x

(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下). ※5.y =cos x ，求y ′.(也叫两位同学一起做)

［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos x y ′=x

x x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim 00 x x x x x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x sin sin 01cos 21sin 4)2

(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim 22

00200-=-⋅⋅-=⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆