第三章

积分学

重点内容： 1、 熟练掌握不定积分的计算 2、 熟练掌握定积分的计算 3、 熟练掌握用定积分求面积求体积的方法 4 、求广义积分

一、不定积分的概念1.原函数的概念 定义 1 设 f ( x ) 是定义在某区间的已知函数， 若存 在函数 F ( x ) ,使得 F ( x ) f ( x ) 或dF ( x ) f ( x )dx , 则称 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数. 1 1 (ln x ) 例 因为 ，故ln x 是 的一个原函数； x x 因为 ( x 2 ) 2 x ,所以 x 2 是2 x 的一个原函数，但( x 2 1) ( x 2 2) ( x 2 3) 数不是惟一的.

2 x ,所以 2 x 的原函

原函数说明： 第一， 原函数的存在问题： 如果f ( x) 在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明).

f ( x) 第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论：

定理 若 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则F ( x ) C 是 f ( x ) 的全部原函数，其中C 为任意常数.

2. 不定积分的概念 定义 2 函数 f ( x) 的全体原函数 F ( x) C 叫做 f ( x) 的不 积分，定积分，记为 f ( x)dx F ( x) C ,其中 F ( x) f ( x) ,上式中的x 叫做积分变量， f ( x) 叫做被积函数， f ( x )dx 叫 做被积表达式，C 叫做积分常数， “ ”叫做积分号.

例 设曲线过点 (1, 2) 且斜率为 2 x , 求曲线方程.解 设所求曲线方程为 y y ( x) . dy 按 2 x ,故 y 2 xdx x 2 C . dx 又因为曲线过点 (1, 2) , 故代入上式2 1 C , 得 C 1, 于是所求方程为 y x 2 1 .

3、 不定积分的性质性质1 号外，即 被积函数中不为零的常数因子可提到积分

( k 0 ). 性质2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即 f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx .

kf ( x)dx k f ( x)dx

4、 基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式：(1) kdx kx C ( k 为常数),

1 1 x C ( 1) (2) x dx , 1 1 (3) dx ln x C , x (4) e x dx e x C , x a C , (5) a x dx ln a (6) cos xdx sin x C ,

(7) sin xdx cos x C ,

1 2 d x sec xdx tan x C , (8) 2 cos x 1 (9) 2 dx csc 2 xdx cot x C , sin x(10) sec x tan xdx sec x C ,

(11) csc x cot xdx csc x C ,

1 dx arctan x C , (12) 2 1 x 1 dx arcsin x C . (13) 2 1 x

一、直接积分法 例 求下列不定积分： 1 (1) 2 dx; (2) x

xdx ; x 1 x 2 1 1 2 C C. 解 (1) 2 dx x dx x 2 1 x2 5 (2) x xdx x dx x 2 C . 53 2

例 求下列不定积分:

x2 1 ( 1 ) 2 dx . x 13x 2 ( 2 ) x 2 1 dx . 1 dx ( 3 ) x 2 ( x 2 1) .1 2 x2 ( 4 ) x 2 (1 x 2 ) dx .

(5) 1 x 4

1 x2

dx

.

思考题(1) 若 f x d x 2 x sin x C , 则 f x 为何？

(2) 若 f ( x ) 的一个原函数为 cos x , 则 f x d x 为何？

二、换元积分法1.第一换元积分法(凑微分法) 例 求 e3 x dx .

解 被积函数 e3 x 是复合函数，不能直接套用公式 x x e d x e C,我们可以把原积分作下列变形后计算： 1 u 1 u 1 令 u 3 x 3x 3x e du e C e d x e d(3 x ) 3 3 3 回代 1 3 x e C. 3 直接验证得知,计算方法正确.例 求 2 xe dx . x2 解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) .于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：x2

2 xe dx e d( x )x2

x

2

2

令u x 2

回代 x 2 e du e C e C.u u

上述解法的特点是引入新变量 u ( x) ,从而把原 积分化为关于u 的一个简单的积分，再套用基本积分公 式求解,现在的问题是，在公式 e x dx e x C 中，将 x 换成了u ( x) ,对应得到的公式 eu du eu C 是否 还成立?回答是肯定的,我们有下述定理： 定理 如果 f ( x)dx F ( x) C ,则

其中u ( x) 是 的任一个可微函数.x

f (u)du F (u) C.

求 cos 2 x sin xdx . 设 u cos x, 得 du sin xdx , 1 3 1 3 2 2 cos x sin xdx u du 3 u C 3 cos x C. 方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式. 例 解例解

求

dx . 2 x 1 ln xdx 1

dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C .

1 1 ln x2

d ln x

例解

sin x dx . 求 x sin x x dx 2 sin xd x 2 cos x C .

凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把 哪一部分凑成 d ( x) ,这需要解题经验,如果记熟下列一 些微分式,解题中则会给我们以启示. dx 1 1 2 2d ( x ), dx d (ax b), xdx d( x ), x 2 a 1 x x dx d (ln | x |), sin xdx d (cos x), e dx d(e ), x cos xdx d(sin x),sec 2 xdx d(tan x),csc2 xdx d(cot x), dx dx d(arcsin x), d(arctan x) . 2 2 1 x 1 x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧.

例

求下列不定积分2 5 3 x x 2dx . (1)

(2)

lnx dx x

(arctanx) 2 ( 3 ) 1+x 2 dxx x e sine dx (4) 3 sin xcosxdx (5)

(6) x

1

e 3 x dx

2、第二换元法 x 1 dx . 例 求 3

3x 1

解

令3 3x 1 t , 即 x

1 4 1 5 1 2 3 3x 1 dx 3 t 2t dt 15 t 3 t C 13 3x 1 2 x 2 C. 5 由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式 为一次式的根式 n ax b 时,令 n ax b t 可以消去根号， 从而求得积分.下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二次式的根式的情况.

x 1