一、 知识回顾

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 = 侧面积 + ______________； （2）圆柱：r为底面半径，l为母线长

侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆锥：r为底面半径，l为母线长

侧面积为_______________；表面积为_______________. 圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长 侧面积为_______________；表面积为_______________.

（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）

锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高） 台体体积公式：________________________； （S’、S分别为上、下底面面积，h为高）

二、 例题讲解

题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底 边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面 8 积是______________；体积是______________。

图（1）

题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，

求这个正三棱柱的表面积与体积

主视图

左视图

图（2） 俯视图

题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 ADE， BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

A．

2343

B． C． D． 3332

E F

D C

B

图（3）

1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm，宽为4cm的矩形，则该圆柱的体积为

2、如图(4)，在正方体ABCD

A1B1C1D1中， 棱长为2，E为A1B1的中点，则

三棱锥E AB1D1的体积是____________.

D1

C1

A1

E

1

C

A

图（4）

3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S。

B

图（5）

（选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm， 高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱。

（1）试用x表示圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。）

1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.

1111 B. C. D. 34916

3

a，则侧棱与底面所成的角等于 2

2．正六棱锥底面边长为a，体积为

A.

5

B. C. D.

12643

3．有棱长为6的正四面体S-ABC，A ,B ,C 分别在棱SA，SB，SC上，且SA =2，SB =3，SC =4，则截面A B C 将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.

1111

B. C. D. 9843

4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是

A．2. B. C. 5 D.6

5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为 ，则角 的取值范围是 A． 0 ,90 B 180 ,270 C 90 ,180 D

6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程x 9x 18 0的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A．

2

53

与2 B.2与 C.5与4 D.2与3 22

11T41

等于 A． B. C. D.

93S94

7.已知正四面体A-BCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体E-FGH的表面积为T，则

8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是

A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9

9.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A．3cm B.6cm C. 8cm D.12cm 9. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1

的正方

形，且 ADE、 BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 A.2/3 B.3 C.3 D.2

10．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1、S2，则必有

A.S1 S2 B. S1 S2 C. S1=S2 D.S1与S2的大小关系不能确定 11.三角形ABC中，AB=23，BC=4， ABC 120 ，现将三角形ABC绕BC旋转一周，所得简单组合体的体积为

A．4 B.3(4 ) C.12 D.(4 3)

12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 A．

1123

B. C. D.

13. 一个四面体的所有棱长都为

2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为

14.已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，

(a b)r2 那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是.

2

15. （江西卷）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形， ACB＝90 ，AC＝6， BC＝CC1P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是37 1.

16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的

角为 45 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分）. 17.圆锥的底面半径为5cm ，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？ 当r=30/7cm时，S的最大值是

360

7

18．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面对角线A1B与侧面ACC1A1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积. 棱柱的侧面积为242

练习11 空间几何体的表面积与体积

A组

1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）.

1 2 1 4 1 2 1 4

（A） （B） （C） （D）

2 4 2

2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.

2345

（A） （B） （C） （D）

3456

3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。 4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。

5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_______________。

6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 。

1

7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的6点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为 。

B组

1．四面体 ABCD 四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 。

2．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是 。 3．如图，一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，

1

使SA=SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱

3

台的侧面积.

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD

是正方形，边长

AB=a，且PD=a，PA=PC=2a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.

练习七参考答案 A组 1．答案：A

解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2πr=a，r

a

，底2

a2

a22

a1 2

面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是2，选A.

4 a2

2．答案：D

解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱

1111111

锥的体积是 ( ) ，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体

322224865

积是，选D.

6

3．答案：148 cm2

解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm，

侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2， 所以棱柱的全面积是148cm2.

4．答案：22：

解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它

2 4

们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，

33

2 rl2l

由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ，得r1 ，r2 ，

l33

. 所以它们的高的比是

5．答案：1cm3

解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，

1

则它的体积是×1×3=1cm3.

3

b

6．答案：

a

解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得V1 b2ab

几何体的体积是V2=πab，所以两个几何体的体积的比是 2 .

V2 aba

2

7．答案：48π

解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A、B、C之间距离相等，

所以每两点间的距离是AB=BC=AC=23， 又A、B之间的大圆劣弧长等于大圆周长的角是60°，

所以大圆的半径R=2，于是球的表面积是4πR2=48π. B组 1．答案：1：9 解：如图，不难看出四面体EFGH与四面体ABCD是相似的。所以关键是求出它们的相似比，

连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N， 由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF：AM=AG：AN=2：3，

所以FG：MN=2：3，又MN：BD=1：2，

所以FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是1：3， 所以两个四面体的表面积的比是1：9. 2．答案：4R2

解：如图，过正方体的对角面AC1作正方体和半球的截面。

则OC1=R，CC1=a，OC=

2

a，

2

1

，所以A、B在大圆中的圆心6

所以a2 22

) R2，得a2=R2， 3

所以正方体的表面积是6a2=4R2.

3．解：棱锥S－BCD的截面为B’C’D’，过S 作SF⊥B’C’，垂足为F，延长SF交BC于点E，连结AF和OE，

∵ 平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C’D’∩平面SOE=AF

，

平面BCD∩平面SOE=OE，

AFSASF111

∴ AF//OE，于是即S同理可得B'C' BC， ，F ，

OESOSE333111

∴ S SB'C' S SBC，S SB'D' S SBD，S SC'D' S SCD，

999

18

∴ S棱锥S－B’C’D’=Q，∴ S棱台侧=Q.

99

4．解：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大，

连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得

R

VP ABCD (S PAB S PBC S PCD S PAD S ABCD)

3

R221212 a a a) 232222

R

(2a)2 3

R111

又VP－ABCD=S正方形ABCD·PD=a3，∴

(2a2 a3，

3333

解得R

=

2，

2

2 a. 2

故所放入的球的最大半径为