均值不等式的应用(习题+答案)
时间：2025-04-26
均值不等式的应用
均值不等式应用
一．均值不等式
1.（1）若a,b R，则a2 b2 2ab (2)若a,b R，则ab
2. (1)若a,b R*，则
a b2
*
a b2
22
a b时取“=”）
ab (2)若a,b R，则a b 2
2
ab（当且仅当a b时取“=”）
a b (3)若a,b R，则ab ） (当且仅当a b时取“=”
2
*
3.若x 0，则x
1x
“=”）;若x 0，则x 2 (当且仅当x 1时取
1x
“=”） 2 (当且仅当x 1时取
若x 0，则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当a b时取“=”）
x
x
x
3.若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”）
b
a
若ab 0，则
ab
ba
2即
2
ab
ba
2
2或
ab
ba
） -2 (当且仅当a b时取“=”
4.若a,b R，则(
a b2
)
2
a b2
（当且仅当a b时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2解：（1）y＝3x 2＋
11
（2）y＝x＋ 2xx
1
3x 2 ＝ ∴值域为[，+∞）
2x
1
x· ＝2； x
1
x· =－2
x
1
≥22x1
（2）当x＞0时，y＝x＋≥x
11
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x ）≤－2
xx
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x
54
，求函数y
4x 2
14x 5
的最大值。
1
解：因4x 5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x 2) x
54
, 5 4x 0， y 4x 2
1
4x 5
不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项，
2 3 1 3
1
5 4x
4x 55 4x
当且仅当5 4x
15 4x
，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax 1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
均值不等式的应用
例1. 当时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。
当
，即x＝2时取等号 当x＝2时，y x(8 2x)的最大值为8。
32
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设0 x
，求函数y 4x(3 2x)的最大值。
3
2
2x 3 2x 9
解：∵0 x ∴3 2x 0∴y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2
222
当且仅当2x 3 2x,即x
3
3
0, 时等号成立。 4 2
技巧三： 分离
例3. 求y
(x 1)的值域。
x 1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
x 7x 10
2
当
,即
时
,y 5 9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 y
(t 1) 7(t 1）+10
t
2
=
t 5t 4
t
2
t 4t
5
5 9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
A
值。即化为y mg(x) g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 B(A 0,B 0)，
g(x)
当,即t=时
,y 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x
2
ax
的单调性。
例：求函数y 的值域。
解：令
t(t
2)，则y
1t
2
t
1t
(t 2)
因t 0,t 1，但t 因为y t
1t
1t
解得t 1不在区间 2, ，故等号不成立，考虑单调性。
52
在区间 1, 单调递增，所以在其子区间 2, 为单调递增函数，故y
5
。
所以，所求函数的值域为 , 。
2
均值不等式的应用
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）y
x 3x 1
x
2
,(x 0) （2）y 2x
1x 3
,x 3 (3)y 2sinx
23
1sinx
,x (0, )
2．已知0 x
1，求函数y 条件求最值
的最大值.；3．0 x
，求函数y .
1.若实数满足a b 2，则3a 3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 3a和3b都是正数，3a 3b≥23 3 23
a
b
a b
6
当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6．
变式：若log4x log4y 2，求
1x
1y
的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x 0,y 0，且
1x
1x
9y
9y
1，求x y的最小值。
1 x
9
x y y
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