第 2 4第卷2 0 201期2年 10月

学数实的与认识M践 TAH EMA ITCS IN P R CAT IC A E N DTH E O R Y

VOI. 2, N o . 2 0 O4e .,t 2 120带有滞时中技性进步资术投资系统的产优最控制分析焦红兵吴冀徽,,(1.河北贸大经学数与学计统学院,河北石家庄 5 0 10 60

() 2北河省公安交通管理局,河石北庄家 0 0851 0 ).摘要对:一带有时类滞非的线性性中术技进的资步产投资统系的资产累积的率最控制优问进行了题论讨,运用积分方程和 B ana h理论得,了最优解的存到在唯一 c性 .关键词中:性技术进步资;产积率;累最优制控;小极化列序;滞时1言引在宏观经系统济,中资产累率积资是产发展统系中个一要重参 .数对经济统系的状态起着重要的作用本.文针对带时有的非线性滞中性技术进步资的产投系资统资的积产率累的优最问进题行研了,利究用B aa h空间中的 B a a一h k一a 定u理,极小对序化列中的弱 n收 cn S s Mcz r a敛列,序构一强造收敛极化小列序从而得,最到解的优唯性一,该问题研的究为经可政济策的 制提供定理论依据.

2控问题的提制出文在l中研究资,产投资存时滞在的性技术进中步资产投系统资程如下方:a K (b],亡) OtaK (, b艺)口0

- --:,, 十一 -- - -下 -~一二

= 一乙((乙),t K )

,<0b<,0乙< t<,TT>,

K (bO, 0 )= K b,(0) 0,0<b三mb,一下三 00丛云)0(l

其中 b )示表产资役的龄,资即产使已用的时,乙为间大役最,龄 t为时间 K,(, tb表示)t时刻役龄的资产分布密度函数 K(, b)t=

(K,) ( )() (F 0一一! A():,关,(亡 )一,d)Ot口(, b)tN

按役为龄的对折相旧率,K b, ( 0初为始状态.试t表示 t刻对时本单投资后位增的新资产 .0) )

(, )为:时一役 的小产 二量亡君刻切龄于资总,()一(,一 )时的产 ()量d6为刻艺资总,A) ((一,(一t) F:君, K二的d,为一日国生总, 其(亡综时要生率二寸民产值 A )中为刻合素产 刻,L劳动力为,:( t为时刻产资积累率的, 0<:t(< 1,二 0>为时.滞在文!假设下,系统的) t ) ] (ll在空间护( Q)中在存一唯 .解使)用如下理合假设收稿: B期 20:1一-101 6资助0项目:河北经贸学高层次大人科研才费经助资目

项

数学的践实认与识42卷10拼在 (, 0乙)上负非连且,续满足并伪 )o矛拼P ()户d<+ c, < bb !.九/了户九拼)d户*+o,乙 m b0一 ( *PZo K( 0在)[ b x一,}上o续连,且每个对定固 0任一O, K (口全 o葬(, K) ()0O b o,,二:, 0,b )0 b,关干 0[,在 bx !二 0上一阶续连微可.0一,1 0 3

相容条件性:

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旦关之一A晶(一, )(}二丝一卫二豁2}:,关d一)间区时间 1,刘上 (< ,o在际实中 T可取 5年,1年或 2年)等虑问题,考如果初资产 0始 T 0分 0布密度水平K ( 0白给是的,定技水术平A闭,折率旧句风都 已知的,是且假并资产定总 ,0量)N (,阳护刘给是定的数,值考虑济系统经积累率的 (: t的最控制,此优该时问转题化约 ),为列数下学题.问如果选取标函数指:T fr户招

0 4 侧),列>纂,豁,<其(一 一,(一 d .假我在 限 L个, N 0中N t0 K f b )动0 ab 们设一有J()一 L( )K N)(o 0j 6j,6d]一(r艺)称为允O许控集制,我们要需找寻一个:,( tO,任得 )双尸使)= n i f_ r双) t叹. )任

(2)e={丛o(tr三)l}艺(任L c ([, T})}: ) o 0( )33最优解的存在一性唯们令集我合一{w (b,t K(玉任 O使,得 (K t系是统(l解}的l ) ) t,b) )我们入一引新的指标:

J () lj一 K, ( )一()开 j 0 o石d N乙于是问题( )就等3价干寻找K (*6亡任, )W使得

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(4)

入K *)一为了解求问题 5()方便我,先做们如准下备:

n iK f(b, )t W任

J ( )K5)(引 I理W是护[, b中司闭凸集.的 0

20期焦红兵,等带有:滞时性中术技进步产投资资系统最优控制分析

证明的少k .了. r

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一=(乙l(b,t,户 ))

0K乙<<二b, 0<t<T T,>O Klb,()=8K ( 0, ) 0b,[mb0< b三b m,一丁三0三ot>

O(6)兀( )一A( ),j L K,一) (), r(0 F( ) 0下吞,乙d a Kb,t()口 (b,.) Z 2 Kt----二 -- -十二-

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0< b< b,二< t< T,0T> 0 2 K (b, 0) = (b, 8), Kf0蛛< b o乙三,一二三0三 o(7)

凡(),() F( 0一凡(一) )七 O,,r (A L)j,乙了, d乙0我容易证得们入(bl,t+ (1一入 (b约, ( 0入<<l满足 (l中的前两式,下证存在袱 t任 K) )凡 ) )使)得尤入伪, )l (1+一 )^ (Kb t),也足 (满1 )中第三式 .入2 (lo,亡 (1一入 o(,亡 K )+凡 ))产b一6户一一A()L, jK(,一 ))+ (),()一 F(0凡 6一)6入r( )( F 6丁0 d乙r () L,jA,(丁 )入 F(0一 1一) )(+(入2( ):,j r一,(:)f,&, b二 1一 d F( ) 0(凡,一 d ) a:: )(一:,(,忿二( * ):君,(*一 )+1一凡,一( )d)二 ) b~

,X()AL j (,K (一+ (一))(一 )石dF (0入6,入丁6,丁)场入) ),一 1(,,(一 )+)( *) F( 0爪 b,一 ):(二:,,君二 d 1一 Z(r ),L f凡(二&d )b二:,一 f(1,,一 )+(入(0 ( 二 1入一 ) d凡(,一 db))二由)条件4o F(, NL ) )d 0全0,纂 o>豁, o<,其 )-(f -K b,( t一二

b中N斌亡 )

故 FL (, )N是关于 N的函凸数O三:10, ) l三, o三r三 1:所以入 (: (,一一d) 1一F(一(一, !):一关 1, )( *+)(L,关d一)( ))!: * (爪,() 1老一: (一,( d一)二1一:关, d)(+入,关:) )知可<0袱艺三 1且袱)任Lt O[ ]T即.斌艺0,任故有入(lb, t+) 1(一 2入b(t, )W任,从 ) C而O, ) K)K证了 W明的凸性 .下面证明 W的闭性.::,厂 (,(! )),()艺F (一+一一( d)一* 1)定的义,存在一列 r t (任)

假存设在一列凡{伪 c约w K且 (约 * K (,t( * o) .下证明以K (,tb任 w .,}n b, )an)按照W 与瓜b(,相对t .应由于L O[,刘中的有集界是弱 ) 0

,闭的又,0三:(三1(三t三,别一定则在一个{存r二}的子,列妨设就是不{r(}本身 t)0 t) ) (t弱 *收到 r敛任川e.按照 l(中第一式等价积的分方程形,式易 K知* (b,约满足 l(中前* ) )

数

的学实践与 认识

42卷

式两,对第式三,有

n K(, t0)升 K *( O,亡 )

)二:,j ((砚一),)一r() F( 0竹,(,一) ) A()( 0&二 d:A):,( ! f二 d因有 (此o,,) ()一 ( (F一0(,,一d )即, (亡 w,,从证 w的了性 ,)::j,: )) 而明闭.引理 2证入K明 )是W上的严凸泛格 .函对于意的任 K:(, t), bKZ伪,亡任城双)入:+ (1一场 )习K<入< z

,: !一(乞一卜乙一 !客,! (入)() N关(Kl卜,亡乙1d一 !一乙(乙)(一}62一卜才客 * (一!} 1)关 () N( )关,云2客2,艺 !2 ) d d}= (入 K)l+(1一入 (人2)J J)引 3理等号有只入二当0或 1才成立时,故J K)是 W的上严格凸泛函 (.( Baa h一 K一 a us )设 X是一个范线赋性空间,{x 是}中的X列一素元 n, c a M zSr且 x在 X中收敛到弱二则一定,在存{x}中凸的组列合使其,收强敛到x (.引理 4设 X一个赋是线性范间空,{}x是 X由中元素构的成的个一列,序且{石

弱收敛到}x,则任对于意的,都存在十}({一, 1 2,, )限中, J的有凸合:又组:二洲,使得艺}:a,洲 x一xo}<青里a{ ,全,a{兄,一1 n,:,n这.理引证S明J在W每中个极小化列都是序护 [, b司的中界有.列0设{:川凡}是 J w上的在小极化序,列即 (乙

又因系统为(l的解关于:t(单是调增长 .假设的当: ( t 1二,时其为解 (乙qt,则系 (统 )l ) ),))

,J J(一)( w了 c o m Lt I (碟州的有所解不于大 (, t),因此 ( b,t)全K二 )t(n= 1,2, b,定( 1理存在唯的一 K(乙t任 w使得,双K)) n=if K 6 (t,任W), ) (乙t而)关于 b t和微,可而因, !乙在x ! T上有界,从而可知{ K( t)}是 LZ! 乙的有界中集.引得理.证 p, m, bo,,o了 n(}J K )

明证在 W中一取极小化f序{ K(t},)即J l,lb J (了门=m ( )ii nf兀(幻任 W

双K )

阮且足满J( 1+)

三J ( ),n=1, 2,,由引理知, 5{ ( Kt在 LZI a ]有中界,因存在而瓜 K b,)}O,子不列妨设是其本就身弱收敛到 K(b, t.引理由4知,存在{瓜 (6勺, t)(}二, 1 2,,) )的,一个限有凸合组n,兀( ( 6,,)又a{一万,,使幼兀得,(,),万/(乙收乙恤, )(,强敛 ).由再理 知1引万 )(乙t)任W (而因,兀入)全 ) ( ifn另方一面

兀 (b,t )任W ( J)兀

((J K, ):砂,J艺毗,):艺:入 ) n( )一凡凡入)

2

期0

红焦,兵:等有时带滞中性术技进资步产资系投统的最优控分析制此因兀入)=ml入(万 )二 i几)几-今 C(f n兀i(b, t)W

( J)

即KK *就是间题解的再.根据的了格严性知凸,K 是唯一,.定理的得证.

由:(与约K ( )的对关应系有:a,t理定 2存在唯一讨的( ) ) (tO得双r使 )二 *in f袱任t) e入川

参考文献焦红兵,刘文1苗一类非性线含有时的资产发展方程的滞同解数.学的践实认识与,2 00,37(3: 5) .一 1 57 6 l z[于元,景赵军.经济统的控系模型制其解及的质性[.控制决与, 1策9, 1(41: )52一4]6 96z4 5]s[张铸庆泛函分析讲义京大学北出社版1897年[W七 FG .T hoeryof N o n rl Ag edep needn tp opulaitD yna i sle . MraeleD kke,rN二e 4b inbe ona n xM e乞r, k198 5

.] s I红焦,兵沙黄,于元.景含有时滞固的资产定资模投解型的质性 1.系科学统与学,数 002(l 0 1:一]4 5 ). 3同焦红兵,于景元一非线性类投动资力系统解的负性非 1.系工统理程论实与,践19, 18(94:)1一] 8 5 7.!于景刘元,军,朱广田.赵济经长中的增资投控模制 !型系统工程理论实与,践19 9,16 4(:) 31 Jl.一620 .][ s红李,焦兵,红景于元中性技术进步与.投控制模型资 . 1统工程系论理与践实,2 0, 220()7 47一.] 5:2 51op imt l Cao n ro l Ana yls i sf r A s se t Inst o eo v fNe t rau l艳le h ni a l e rP g reosJ sA I O o nH g一in l,g UWb V V tI

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