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第十二章 柱函数§12.1 柱坐标下拉氏方程的解 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为： 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为：1 u 1 2 u 2 u ρ ρ + ρ 2 2 + z 2 = 0 ρ ρ

令：u ( ρ , , z ) = R ( ρ ) Φ ( ) Z ( z )

ΦZ R RZ " ρ + 2 Φ + RΦZ " = 0 ρ ρ ρ ρ " ρ R Φ " 2 Z ρ ρ + Φ + ρ Z = 0 R ρ

ρ R Z" Φ" =λ ρ + ρ2 = ρ R ρ Z Φ 1

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" ρ R 2 Z ρ ρ + ρ Z λ = 0, R ρ

Φ" + λΦ = 0,

Φ" + λΦ = 0, Φ ( + 2π ) = Φ ( )

自然周期条件

本征值： 本征值： = m 2 λ

( m = 0,1, 2,) .

本征函数： 本征函数： Φ = c1 cos m + c2 sin m .1 R Z " m 2 ρ ρ + Z ρ 2 = 0, ρ R ρ 1 R m 2 Z" ρ ρ ρ 2 = Z ρ R ρ 1 R m2 ρ ρ + ρ 2 ρ R ρ = 0, 2

=

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R ρ ρ + ρ 2 m 2 R = 0; ρ ρ

(

)

Z " Z = 0.

讨论： 讨论： ① =0

Z = c 3 z + c4 Z " = 0, R R = c5 ln ρ + c6 . 当m = 0时， ρ 时 = 0, ρ ρ

2R R 当m ≠ 0时， ρ 时 +ρ m 2 R = 0, ρ 2 ρ2

—— 欧勒齐次方程

R = c7 ρ m + c8 ρ m .

② >0 Z "

2R R ρ +ρ + ρ 2 m 2 R = 0, ρ 2 ρ2

( )

2

Z = 0,

Z = c9 e

z

+ c10 e

z

.

(

)

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令： x = ρ

J m R~ Nm R ~ Jm

( ρ) ( ρ ) ( ρ)

2R R 2 x +x + x 2 m 2 R = 0, x 2 x

(

)

m阶诺尔曼函数 阶诺尔曼函数

m阶贝塞耳方程 阶贝塞耳方程

柱内

③ <0

令： = h2 , Z " + h2 Z = 0, Z = c11 cos hz + c12 sin hz . 2 R 2 R m阶虚贝塞耳方程 阶虚贝塞耳方程 ρ +ρ h2 ρ 2 + m 2 R = 0, 2 ρ ρ 2R R 2 令： x = hρ x +x x 2 + m 2 R = 0, x 2 x

(

)

(

)

I m ( hρ ) R~ K m ( hρ )

m阶虚贝塞耳函数 阶虚贝塞耳函数 m阶虚诺尔曼函数 阶虚诺尔曼函数4

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柱内 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件， 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件，则取 > 0,若柱侧 ， 是第二类边条件， 情况； 是第二类边条件，还需要讨论 = 0情况；若所给的边界条件 情况 中上下底均是齐次边条件， 中上下底均是齐次边条件，则取 < 0,若上下底均为第二类 ， 齐次边条件， 情况. 齐次边条件，还需要讨论 = 0情况 情况 §12.2 贝塞耳函数x 2 R" + xR' + x 2 ν 2 R = 0 s1 = ν

R ~ I m ( hρ )

(

)

—— ν 阶贝塞耳方程

有一解: (ν > 0 ) , 有一解∞ k

2 k +ν () x R ~ Jν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ ( k + ν + 1) 2

Jν ( x ) R~ 为非整数， 若ν为非整数， , J ν ( x )

2 k ν () x J ν ( x ) = ∑ k ! Γ ( k ν + 1) 2 k =0∞

k

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若ν为整数，ν = m = 0, 1, 2, … 为整数，J m ( x ) 与J m ( x ) 线性相关 x Jm ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ ( k + m + 1) 2 ∞ ∞

Jm ( x ) R~ , N m ( x )

()

k

2k + m

x Jm ( x ) = ∑ k ! Γ ( k m + 1) 2 k =0

()

( ) x 2k + m =∑ k !( k + m ) ! 2 k =0∞ k

k

2k m

m = 0 时，显然满足 显然满足. 讨

论m 情况， 讨论 = 1, 2, 3, …情况，当k = 0, 1, 2, … , (m -1 )时， 情况 时k ( m 1) ≤ 0, Γ ( n ) = ∞ Jm ( x ) = ∑∞

( n = 0,1, 2,)2k m

x k = 0 k ! Γ ( k m + 1) 2

()

k

=

x ∑ k ! Γ ( k m + 1) 2 k =m

∞

()

k

2k m

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令k m = k ,'

Jm ( x ) = ∑

∞

k' =0

(

x 2 ' ' k + m !Γ k + 1

()

k' + m

2k' + m

) (

)

= ()

m

k' =0

∑(

∞

(

x k ' + m !k ' ! 2

()

k'

2k' + m

)

= ( ) Jm ( x )m

因此， 阶贝塞耳方程的解为： 因此，m 阶贝塞耳方程的解为：Jm ( x ) R~ , N m ( x ) 若 R x = 0 = 有界， R ~ J m ( x ) .

Nν ( x ) =

Jν ( x ) cosνπ J ν ( x ) sinνπ Jν ( x ) cosνπ J ν ( x ) sinνπ

—— ν阶诺尔曼函数 —— m阶诺尔曼函数 阶诺尔曼函数

N m ( x ) = lim

ν →m

若要求x 有界， 当x → 0时，Nm (x) → ∞. 若要求 = 0有界，则应排除 m (x). 时 有界 则应排除N7

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( H m ) = J m ( x ) + iN m ( x ) .1

—— 第一种汉克函数

—— 第二种汉克函数 第一类柱函数—— 贝塞耳函数(包括虚贝塞耳函数), 贝塞耳函数(包括虚贝塞耳函数), 第一类柱函数 第二类柱函数—— 诺尔曼函数(包括虚诺尔曼函数), 第二类柱函数 诺尔曼函数(包括虚诺尔曼函数), 第三类柱函数—— 第一种和第二种汉克函数 第一种和第二种汉克函数. 第三类柱函数 讨论： 讨论： 柱内问题( ① 柱内问题(0 ≤ ρ ≤ ρ0) 此时应排除m 阶诺尔曼函数. 由于 lim N m ( x ) = ∞ , 此时应排除 阶诺尔曼函数x→0

( H m ) = J m ( x ) iN m ( x ) .2

R ~ Jm

(

ρ

)J m R~ Nm

② 柱外或空心圆柱问题 ( ρ ≥ ρ0 或 ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2 )

( ρ ) , ( ρ )

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解在x ③ 解在 = 0点正常 点正常 此时应排除- 阶诺尔曼函数. 由于 lim J ν ( x ) = ∞ , 此时应排除 ν 阶诺尔曼函数x →0

§12.3 贝塞耳函数的递推 …… 此处隐藏：4057字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……