代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。

两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据(简称

乃氏判据)和对数频率稳定判据。

Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；

对数频率稳定判据( Bode 判据)根据开环对数频率特性 曲线判断闭环系统稳定性；

两种频率稳定判据没有本质区别。

频域稳定判据的特点：根据开环系统频率特性曲线

判定闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。

7.4 乃奎斯特稳定性判据闭环传递函数为X o ( s) G(s) X i ( s) 1 H ( s)G( s)

闭环系统 为了保证系统稳定，特征方程 1 H (s)G(s) 0 的全部根，都必须位于左半s平面。 虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环 传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统 是稳定的。

7.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 H ( j )G( j ) 与 1 H ( j )G( j ) 在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。 这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲 线，均可用来进行稳定性分析 。 特点： 它是根据开环系统的频率特性来判定闭环系统的稳 定性。

7.4 乃奎斯特稳定性判据Nyquist稳定判据的优点

图解法、几何判据，简单、直观、计算量小 (劳斯/赫尔维茨判据是代数判据)。 可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而 只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便 可应用。 有助于建立相对稳定性的概念。Nyquist判据的数学基础：复变函数论中的映射定 理，又称幅角定理、米哈伊洛夫定理。

7.4 乃奎斯特稳定性判据7.4.1 米哈伊洛夫定理 一阶系统 特征方程：D(s) = s + p = 0 特征根：s = -p < 0,系统稳定。 D(s)可视为复平面上的向量。 在频域该向量为：D(j ) = p + j

s+p

s

Im s 0 Re

-p - p

当 变化时， D(j )的端点沿虚轴滑动，其相角相 应发生变化。

7.4 乃奎斯特稳定性判据 ImD(j )

Im

-p

j 0

'-pRe

由图易知，当 由0变化到 时， D(j )逆时针旋转 90°,即相角变化了 /2。 arg D ( j ) 2

若特征根为正实根，则当 由0变化到 时： arg D ( j )

2

7.4 乃奎斯特稳定性判据 二阶系统2 D(s) s2 2 n s n s p1 s p2 0

实根情形( 1)j +p2 Im Im j +p2

2-p2 -p1

1

j +p1 0 Re

2-p2

j +

1 p1 0 -p1 Re

当 由0变化到 时： arg D ( j ) 2 2

当 由0变化到 时： arg D ( j ) 02 2

7.4 乃奎斯特稳定性判据 共轭复根情形(0< <1) 设根位于左半s平面。 当 由0变化到 时， j +p1的相角变化范围：Im

j +p1-p1

- 0 ~ /2 变化量： /2+ 0。 j +p2的相角变化范围：

1

j +p2-p2

0 2 00

变化量： /2– 0。 arg D( j ) 0 0 2 2 2

Re

0 ~ /2

2

7.4 乃奎斯特稳定性判据根位于右半s平面。 当 由0变化到 时， j +p1的相角变化量： Im 1 00 j +p1 -p1 j +p2 Re -p2

- /2- 0 j +p2的相角变化量：

2 0

- /2+ 0 2 0

arg D( j )

2

0 2

2

7.4 乃奎斯特稳定性判据 n阶系统 D(s) s n a1s n 1 a2s n 2 an 1s an 0 若有p个特征根在右半s平面，q个根在原点，则当 由0变化到 时，其角增量为： arg D( j ) (n p q) p (n 2 p q) 2 2 2

此即为米哈伊洛夫定理。

7.4 乃奎斯特稳定性判据 推论

D(s) s n a1s n 1 a2s n 2 an 1s an 0若n次多项式D(s)的所有根都位于复平面的左半平面， 则当以s= j 代入D(s)并命 由0变化到 时，其角增 量为：

arg D ( j ) n

2

7.4 乃奎斯特稳定性判据7.4.2 乃奎斯特稳定性判据Xi(s) Xo ( s )

G(s)

N1 ( s) G( s) D1 ( s)N 2 ( s) H ( s) D2 ( s)

H(s)

Xo s 闭环：

N1 ( s) N 2 ( s) N K ( s) 开环传递函数： G(s) H (s) D1 ( s) D2 ( s) DK (s)N1 (s) D2 (s) N B ( s) G( s ) X i s 1 G(s) H (s) D1 (s) D2 (s) N1 (s) N 2 (s) DB (s)

D1 ( s) D2 ( s) N1 ( s) N 2 ( s) DB ( s) 1 G( s) H ( s) D1 ( s) D2 ( s) DK ( s)

7.4 乃奎斯特稳定性判据D1 ( s) D2 ( s) N1 ( s) N 2 ( s) DB ( s) 1 G( s) H ( s) D1 ( s) D2 ( s) DK ( s)

即分子为系统闭环特征多项式，分母为系统开环 特征多项式。

一般G(s) 和H(s) 的分母多项式的阶次均大于其分 子多项式的阶次，故闭环特征方程的阶次等于开环 特征方程的阶次，均为n阶。

7.4 乃奎斯特稳定性判据令辅助函数：

DB ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) DK ( s)其中，DB(s)为闭环特征多项式。DB ( j ) F ( j ) 1 G( j ) H ( j ) DK ( j )

由0变化到 时，向量F(j )的相角变化量 arg F ( j ) arg DB ( j ) arg DK ( j )

7.4 乃奎斯特稳定性判据 开环稳定时根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当 由0变化到 时： arg

DB ( j ) n

2

2

从而： arg F ( j ) arg DB ( j ) arg DK ( j ) 0

上式表明，若系统开环稳定，则当 由0变化到 时， F(j ) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。