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九年级数学上册期末复习提纲

第21章 二次根式

知识梳理：

1. 本章知识提练整理

第22章 一元二次方程

1、一元二次方程的一般式：2

0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)x a a =≥ 解为：x a =± ②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=± （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：2

0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 适合提公因式，而且其中一个根为0 290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=

注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=

十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

（3） 配方法

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2

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

2220()()022

P P x Px q x q ++=⇔+-+=示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+

+=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a

-⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=

（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a

-+= ①当2

40b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b ac x a -±-= ② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a

=-

③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2

0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2

4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。③代公式：21,242b b ac x a -±-=（要注意符号） 第23章 旋转

1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

2、旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

（2）每一对对应点到旋转中心的距离相等；

（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角

（4）旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等.

3、旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.

4、中心对称：绕着中心点旋转180度后能与自身重合的图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。

5、中心对称图形的性质：

（1）成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（2） 成中心对称的两个图形，大小相等，形状相同，两个图形全等。

（3） 成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

注意：

1、旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。

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2、在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。

3、旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）

4、旋转对称和中心对称的分别

第24章圆

24.1 圆

24.1.1 圆

·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

24.1.2 垂直于弦的直径

·垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

24.1.3 弧、弦、圆心角

1、顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。

推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。

24.1.4 圆周角

1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。

4、圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：

点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r。

（“⇔”读作“等价于”，表示可以从符号“⇔”的一端得到另一端）

2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。

3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆

心到其中一点的距离作为半径画圆即可。

4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线

的交点，叫做三角形的外心。

5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

24.2.2 直线和圆的位置关系

1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

当没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：

直线l与圆相交⇔d<r；直线l与圆相切⇔d=r；直线l与圆相离⇔d>r。

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。

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切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。

5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内

心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。

24.2.3 圆和圆的位置关系

1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。

其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。

2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。

其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。

3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。

4、若两个圆的半径分别为r 1、r 2（r 1>r 2），圆心距（两圆圆心的距离）为d ，则

外离

d >r 1+r 2 内含 d <r 1-r 2 外切

d =r 1+r 2 内切 d =r 1-r 2 相交

r 1-r 2<d <r 1+r 2

24.4 弧长和扇形面积

1、n °的圆心角所对的弧长公式：l =错误！未找到引用源。（推导过程：360°所对的弧长为2πR ）

2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

3、圆心角为n °的扇形面积公式：S =n πR 2

360

（推导过程：360°所对的扇形面积为πR 2） 4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S =12

lR （l 为弧长） 5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

6、圆锥的侧面积公式：S 侧=12

Cl =πrl ，圆锥全面积公式：S =πr 2+πrl =πr (r +l )