高数课件

§9 二元函数的泰勒公式

问题的提出 二元函数的泰勒公式 小结

高数课件

一 问题的提出

一元函数带Lagrange余项的泰勒公式： 余项的泰勒公式： 一元函数带 余项的泰勒公式

f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) 2 + L + ( x x0 ) n + 2 n! f ( n +1 ) ( x0 + θ ( x x0 ) ) + ( x x0 )n+1 (0 < θ < 1). ( n + 1)!

意义： 意义：可用 n次多项式来近似表达函数 f ( x ) ，且 高阶的无穷小． 误差是当 x → x 0 时比( x x 0 ) n 高阶的无穷小．

高数课件

问题： 问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小. 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.

即 设 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续 阶的连续偏导数, 且有直到 n + 1 阶的连续偏导数, ( x0 + h, y0 + h) 为此邻域内任一点, 为此邻域内任一点 , 能否把函数 f ( x0 + h, y0 + k ) 次多项式， 近似地表达为 h = x x0 , k = y y0 的 n 次多项式， 且误差是当 ρ = h2 + k 2 → 0 时比 ρ n 高阶的无穷 小．

高数课件

二 二元函数的泰勒公式

定理 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连 阶的连续偏导数, 续且有直到 n + 1阶的连续偏导数, ( x0 + h, y0 + h) 为此邻域内任一点, 为此邻域内任一点,则有

f ( x0 + h, y0 + h) = f ( x0 , y0 ) + h + k f ( x0 , y0 ) y x + + 1 1 h + k f ( x 0 , y0 ) + L + h + k f ( x 0 , y 0 ) 2! x n! x y y 1 h +k ( n + 1)! x y

n+1 2 n

f ( x0 + θh, y0 + θk ),

(0 < θ < 1)

高数课件

其中

h + k f ( x 0 , y0 ) y x

表示 hf x ( x0 , y0 ) + kf y ( x0 , y0 ),

h + k f ( x 0 , y0 ) y x

表示

h2 f x x ( x0 , y0 ) + 2hkf xy ( x0 , y0 ) + k 2 f yy ( x0 , y0 ),

2

高数课件

h + k f ( x0 , y0 )表示 一般地, 一般地, y x m m p p p m p ∑Cmh k x p ym p ( x0 , y0 ) . p= 0

证明 引入函数

m

Φ( t ) = f ( x0 + ht , y0 + kt ), (0 ≤ t ≤ 1).

显然 Φ( 0) = f ( x0 , y0 ),

Φ(1) = f ( x0 + h, y0 + k ).

高数课件

的定义及多元复合函数的求导法则, 由 Φ(t ) 的定义及多元复合函数的求导法则,可得

Φ′( t ) = hf x ( x0 + ht , y0 + kt ) + kf y ( x0 + ht , y0 + kt ) = h + k f ( x0 + ht , y0 + kt ), y x

Φ′′( t ) = h2 f xx ( x0 + ht , y0 + kt ) + 2hkf xy ( x0 + ht , y0 + kt ) + k 2 f yy ( x0 + ht , y0 + kt )

LL LL

高数课件

n+1 p Φ ( n+1) ( t ) = ∑ C n+1 h p k n+1 p p n+1 p x y p= 0

n +1 p

( x0 + ht , y0 + kt )

= h + k y x

n+1

f ( x0 + ht , y0 + kt ).

利用一元函数的麦克劳林公式， 利用一元函数的麦克劳林公式，得

1 Φ(1

高数课件

高数课件

高数课件

高数课件

高数课件

高数课件

高数课件

高数课件