《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第九章解析几何

时间:2025-04-03

9.5 椭圆

考纲要求

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.理解数形结合的思想.

3.了解椭圆的简单应用,了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的__________,两焦点间的距离叫做椭圆的__________.

x2y2

1.已知椭圆1,长轴在x轴上,若焦距为4,则m等于( ).

10-mm-2

A.4 B.5 C.7 D.8 2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ).

4321A. B. C. D.

5555

1

3.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则该椭

3

圆方程为( ).

x2y2x2y2

A.1 B.1

144128362022xyx2y2

C.=1 D.+1

32363632

x2y21

4.若焦点在x轴上的椭圆=1的离心率为,则m等于( ).

2m2

382

A.3 B. C. D.

233

x2y2

5.椭圆1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=__________;

92

∠F1PF2的大小为__________.

x2y2

【例1-1】已知F1,F2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,

ab1

若△PF1F2的周长为12,离心率e__________.

2

【例1-2】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.

方法提炼

1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.

2.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤

(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.

x2y2x2y2

(2)设方程:根据上述判断设方程1(a>b>0)或1(a>b>0).

abba

(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.

请做演练巩固提升3

二、椭圆的几何性质

x2y2

【例2】如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2+=1(a>b>0)

ab

的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为__________.

一、椭圆的定义及标准方程

方法提炼

离心率是椭圆的几何性质中考查的重点,求离心率的方法通常是根据条件列出a,c所满足的齐次方程(或不等式),然后再求离心率的值或取值范围.

请做演练巩固提升

4

椭圆主观题的规范解答

x2y23

【典例】(12分)(2012山东高考)如图,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为ab2

线x=±a和y=±b所围成的矩形

ABCD的面积为8.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个

|PQ|

不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.

|ST|

规范解答:(1)设椭圆M的半焦距为c,

c3

由题意得 a2 4ab=8,

a2=b2+c2,

所以a=2,b=1.(3分)

x22

因此椭圆M的方程为y=1.(4分)

4

x22 y=1,(2)由 4整理得5x2+8mx+4m2-4=0,

y=x+m

由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0, 5<m5.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

4(m2-1)8m

则x1+x2=-,x1x2=55

所以|PQ|(x1-x2)+(y1-y2) =2[(x1+x2)-4x1x2] =2(5-m)(-<m<.(7分) 5

线段CD的方程为y=1(-2≤x≤2),线段AD的方程为x=-2(-1≤y≤1).

①不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知1≤m<5,S(-2,m-2),D(-2,1), 所以|ST|

=2|SD|2[1-(m-2)]=2(3-m),

5-m|PQ|4

因此=,

|ST|5(3-m)令t=3-m(1≤m<5),

则m=3-t,t∈(35,2],

|PQ|5-(3-t)446所以=-+-1 |ST|5t5tt

254

=-4 t4+4, 5

由于t∈(35,2],

1 135 所以 , t 24

134|PQ|25因此当,即tm.(9分)

t43|ST|53

②不妨设点S在AB边上,T在CD边上, 此时-1≤m≤1,

因此|ST|=2|AD|=22,

|PQ|2此时=5-m,

|ST|5

|PQ|所以当m=0时,.(10分)

|ST|5

③不妨设点S在AB边上,T在BC边上,-<m≤-1,

|PQ|55

由椭圆和矩形的对称性知的最大值为,此时m=-.

|ST|535|PQ|25

综上所述,当m=m=0时,最大值为.(12分)

3|ST|5

答题指导:从圆锥曲线定义入手掌握有关知识,注意总结规律和防范细节性的错误.

x2y2

1.(2012江西高考)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分

ab

别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ).

151

A. B. C. D.5-2

452

2.已知椭圆的中心为原点,离心率e,且它的一个焦点与抛物线x2=-43y的焦

2

点重合,则此椭圆方程为( ).

2

x222yA.x+1 B.+y=1

4422xyx2y2

C.1 D.+1

164416

3.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,则这个 …… 此处隐藏:2381字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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