北师大版选修2-1第5节夹角的计算包含三小节5.1直线间夹角,5.2平面间的夹角,5.3直线与平面间的夹角

§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角

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一、线线角： 直线交角中，范围在 0, 2

当两条直线l1与l2共面时,我们把两条

内的角叫作

两直线的夹角l1 l2 A C B

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当两条直线l1与l2是异面直线时, 在直线l1上任取一点A作AB//l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角.l2 B A

l1

C

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空间直线由一点和一个方向确定, 所以空间两条直线的夹角由 它们的方向向量的夹角确定.

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l2 A l1

s1 s2

B

l2

s2A

s1

B

C

l1

C

当0 s1 , s2 时, 直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2 2 当 s1 , s2 时, 2直线l1与l2的夹角等于 s1 , s2

已知直线1与l2的方向向量分别为1, s2 l s

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异面直线所成角的范围： 0, 思考： 2 C D CD, AB 与 的关系？ D1 A B DC, AB 与 的关系？ 设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b b a

a , b

|

a , b

a

b

|

结论：

| cos a, b |

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两向量夹角的余弦公式

设a ( x1, y1, z1 ),b ( x2 , y2 , z2 )则 cos a, b a b | a | |b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 x1 y1 z12 2 2

x2 y 2 z 22 2

2

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练习1、求下列两个向量的夹角的余弦： (1) a =( 2, -3, 3 ),1 2

b

=(1, 0, 0 );

(2) =(-1, -1 ,1),b =(-1, 0, 1)。 a6 3

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例1、如图，在空间直角坐标系中有 长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,BC=2,AA1=3, 求对角线AC1和侧面对角线A1D的夹角 的余弦值。z

解：设对角线AC1和侧面对 角线A1D的方向向量分别是

A1 B1

D1

C1

s1 , s2则s1 AC1, s2 A1D.x (A) O B C y D

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因为A(0,0,0),C1(2,2,3),A1(0,0,3),D(0,2,0)所以AC1 (2,2,3), A1D (0,2, 3).因此 cos s1 , s2 s1 s2 | s1 || s2 |B1

zA1 D1

5 0 221 AC1和A1D的夹角 = - s1 , s2

C1

(A) O B x C

yD

5 221 故 cos 221

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练习2、如图，在空间直角坐标系中有 长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,BC=1,AA1=3, 求对角线AC1和侧面对角线A1D的夹角 的余弦值。zA1 B1 D1

C1

4 35 cos 35(A) O D

y

Bx

C

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§5.2 平面间的夹角z

D1 A1

F E1 B1

C1

E

D

C

y

A

B

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平面间的夹角平面π1与π2相交于直线l ,点R为直线l上任意一点， 过点R,在平面π1上作直线l 1⊥ l ,在平面π2上作 直线l 2⊥ l ,则l 1∩ l 2=R。我们把直线l 1和l 2的 夹角叫做平面π1与π2的夹角π2 R π1 l1 l2

l

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对照二面角定 义 从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫做二面角。 A 图形

棱a 面 B 面

构成

面—直线—面 (棱)

表示

法

二面角 —l— 或二面角 —AB—

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平面间的夹角与二面角的关系平面间的夹角的范围是【0,π/2】

两个半平面所成的二面角的范围是【0,π】

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两平面法向量的夹角与这两个平面夹角之 间的关系 2N N

2

n1 n2 1 M

n1 R

n2 1 M

R

当0 n1 , n2 时, n1 , n2 ; 2 当 n1 , n2 时, n1 , n2 . 2