高等数学科学版课件D5_7广义积分

第七节 广义积分常义积分推广

第五章

积分限有限 被积函数有界

广义积分

一、无限区间上的广义积分二、无界函数的广义积分

一、无限区间上的广义积分引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲

边梯形的面积 可记作

x 其含义可理解为 A limb 1

A

dx 2b

1

1 y 2 x A

b

dx 1 lim 2 b x 1 x

1

1 1 lim 1 b b

定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若

存在 , 则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分, 记作

这时称广义积分 就称广义积分

收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .

类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义

若 f ( x) C ( , ) , 则定义lim a f ( x) dx b c f ( x) dx a lim( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .c b

无限区间上函数的广义积分又称作第一类广义积分,

说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,它表明该广义积分发散 .

引入记号

F ( ) lim F ( x) ;x

F ( ) lim F ( x)x

则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

a

f ( x) dx F (x)

F ( ) F (a) F (b) F ( ) F ( ) F ( )

f ( x) dx F (x) f ( x) dx F (x)

b

例1. 计算广义积分解:

[ arctan x ]

y

y

( ) 2 2

1 1 x 2

o原积分发散 !

x

思考: 分析:

注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .

例2. 证明广义 积分 时发散 .

当 p >1 时收敛 ; p≤1

证:当 p =1 时有

ln x当 p ≠ 1 时有

a

x 1 p a

1 p

,a 1 p , p 1

p 1 p 1

a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 p 1 当 p≤1 时, 广义积分发散 .

例3. 计算广义积分

t pt 解: 原式 e p1 pt 2e p 1 2 p

1 p t e dt p 0

二、无界函数的广义积分引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的

开口曲边梯形的面积可记作

y

其含义可理解为

1 y xdx 1 lim 2 x x 0

A lim 0

1

A

lim 2(1 ) 2 0

0

x

定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界,若极限 存在 , 则称此极限为函

数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作

这时称广义积分 就称广义积分

收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .

类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,则定义

而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义

lim 1 0

a f ( x) dx c f ( x) d

x c b a f ( x) dx lim0 c 1 2

c

b

f ( x ) dx2

无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 为瑕点(奇点) . 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分. 例如,

则也有类似牛 – 莱公式的的计算表达式 :

若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则

a a

b

f ( x) dx F (b ) F (a) f ( x) dx F (b) F (a )

b

若 a , b 都为瑕点, 则

a ab

b

f ( x) dx F (b ) F (a )

注意: 若瑕点 c (a , b) , 则

f ( x) dx F (b) F (c ) F (c ) F (a)可相消吗?

例4. 计算广义积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 x a arcsin arcsin1 原式 a 0 2 例5. 讨论广义积分 的收敛性 .0

0 dx 1 下述解法是否正确: dx 1 1 1 2 2 解: 1 x 0x x 1 x 0 1 1 dx 2 1 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 1 发散 . 所以广义积分

例6. 证明广义积分 时发散 .

当 q < 1 时收敛 ; q≥1

证: 当 q = 1 时,当 q≠1 时

ln x a1 q

a b

q 1 q 1

( x a) 1 q

(b a)1 q b 1 q , a ,

(b a)1 q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .

例7. 解： 积分.

求 的无穷间断点, 故 I 为广义0

f ( x) I dx 2 11 f ( x )

f ( x) dx 2 2 1 f ( x)3

] 2

32 ] arctan 2 27 2

内容小结1. 广义积分 积分区间无限

被积函数无界

常义积分的极限

2. 两个重要的广义积分

,a1 p , ( p 1)

p 1 p 1

,

q 1