二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用

贵州师范大学学报(自然科学版)第21卷第2期Vol.21.No.2

2003年5月May2003JournalofGuizhouNormalUniversity(NaturalSciences)

文章编号:1004—5570(2003)02-0022-03

二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用

马晓玲,熊志坚,李　莉

(昆明理工大学机电工程学院,云南昆明　650031)

Ξ

摘要:设计二阶系统时,在允许系统有适度的振荡情况下,,下工作(通常取ζ=0.4～0.8)。3种不同状态下(ζ<1,ζ=1,ζ>1),,本文对临界阻尼和过阻尼情况做了深入的理论分析,,2种情况的调整时间ts的理论公式。关键

词:;;瞬态响应

中图分类号:TB12文献标识码:A

Analysisandapplicationofperformanceindexfortransientresponse

ofsecond—ordersystem

MAXiao2ling,XIONGZhi2jian,LILi

(DepartmentofMachineandElectronics,

KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming,Yunnan650031,China)

Abstract:Whendesignasecond-ordersystem,inordertogetashortertransitionalstage(if

moderateoscillationisallowedforthesystem),weusuallymakethesystemworkunderthecircum2

ζ=014～018).Butinthesystemdesignandexperiment,instancesofunderdampedcondition(

rodertomakestudentsdirectlyperceiveandthoroughlyunderstandthecircumstancesofthreediffer2

ζ<1ζ,=1ζ,>1),deep-goingtheoryanalysisismadeonthecir2entkindsofsystemconditions(

cumstancesofcriticallydampedandoverdampedconditionsinthispaper.Inaddition,twotheoryformulasofthesettlingtimeontheabovetwodifferentconditionsareobtained1Keywords:dampingratio;overshoot;second-ordersystem;transientresponse

0　引言

瞬态响应是指系统在某一输人信号作用下,系

统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。因为实际的物理系统总是包含一些储能元件,所以当输人信号作用于系统时,系统的输出量不能

立刻跟随输入量变化,而是在系统达到稳态之前,表现为瞬态响应过程。对于一般稳定的控制系统来说,瞬态响应有4种形式:(1)振荡过程,(2)微振过程,(3)无超调量过程,(4)单调过程。如图1所示:

一个系统能用二阶微分方程来描述,则称它为二阶系统。从物理上来讲,二阶系统总包含有2个

Ξ

收稿日期:2002-10-08

作者简介:马晓玲,女,高级实验师,研究方向:测试与控制。

22

　第2期　　　　　　　　马晓玲,熊志坚,李　莉:二阶系统的瞬态响应性能指标分析与应用　　　　　　　　　　　

2

ζ2中,以Wd为振荡频率的衰减振荡曲线。此

曲线有5个指标,本文只讨论其中3个指标:Mp———超调量,ts———调整时间〔在响应曲线的稳态值线上,用稳态值的百分数作为一个允许误差范围(本文取2%),响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间〕,tp———峰值时间。

对式(3)求导,并令之为零所求出的t便是tp:π

(4)tp=

Wd

图1　稳定控制系统的瞬态响应形式

储能原件,如电感、电容等。

二阶系统的闭环传递函数为:

==R(S)1+G(S)TKKS+S+

TmTm

2

t=p2(/

)Wd

p=C(tp)21=

(5)

而ts≈ζ

(1)

Wn

(6)

=

=

在实验中有图

2所示的模拟二阶系统,当R=10K时,系统为欠阻尼状态,其闭环传递函数为2

2

S2+10s+10

S+2ζWnS+W

2

n

Kv———开环系统增益,Wn=

———无阻Tm

尼固有频率

ζ=函数

C(S)———系统输出,R(S)———系统输入

ζ=0.5,Wn=10,用式(4),(5),(6)可分别算出∴

tp=0136s,Mp=1613%,ts=018s。

2WnTm

———阻尼比,G(S)———开环传递

从式(1)中可看出,此二阶系统的动态特性完

全可用ζ和Wn这两个特征加以描述。

现分别讨论在单位阶跃函数作用下,不同阻尼比ζ值的阶跃响应。当输入为阶跃函数时有输出为:

C(S)=

2

SS2+2ζWnS+Wn

22

图2　欠阻尼状态的模拟二阶系统

=

(2)

2　临界阻尼情况(ζ=1)

2

此时Wd=Wn21=0

22

S(S+ζWn+Wn21)(S+ζWn+Wn21)

1　欠阻尼情况(0<ζ<1)

Wd=Wn

所以

2

C(S)=

2

2

2

S(S+2ζWn+Wn)

=

(7)

1=jWn

2

ζ—2——阻尼自然

2

2

频率

对式(2)用反拉氏变换分解定理分解后,再反拉氏变换得:

C(t)=12

S(S+Wn)

对式(7)利用拉普拉斯反变换中有重根的部分分式展开式,再进行拉氏反变换得:

2Wt2Wt2Wt

(8)C(t)=12Wnten2en=12en(1+Wnt)

对于ζ=1,响应曲线是无超调的过程,所以无需求tp,Mp,所关心的是ts,我们知道要使输出为稳态值的98%,就有下列等式:

23

2Wnt

ζ

ζWnt

此响应曲线是一条夹在包络线1±e2/

ζ2

2

sin(Wdt+arctan

2

ζ

)(3)

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12e2Wnts(1+Wnts)=0198

(9)

对式(9)这一方程求解,我们得到精确的求ts(ζ=1)的公式,对图2这样的系统,当ζ=1时(即

R=40K)传递函数是:2

S+10S+25

利用求ts的公式得:ts=1.167s。实际上对于任意一个线性的二阶系统,我们的求解ts的公式都适应,并十分精确,无误差。

2(ζ+

21)Wnt

2

222(ζ+ζ2121)

(12)

由式(12)可得求解ts的方程:1+0198

2

(ζ2

21)Wnts

2

22

ζ2(ζ2121)

+

2

(ζ+

21)Wnts

2

22

2(ζ+ζ121)

=

此方程后一项随ts变化衰减很快 …… 此处隐藏：1755字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……