范德蒙德行列式的应用

摘 要

本文利用范德蒙行列式的一些理论和结果，并通过对n阶范德蒙行列式的计算，讨论它

的各种位置变化规律。然后主要研究一些范德蒙行列式的例子，从中掌握行列式的某些方法

和技巧。

关键词

范德蒙行列式；行列式的旋转；加边计算法；线性空间；行列式乘法

Application of Vander monde determinant

Abstract

In the paper it main uses the theory and result of Vander monde Determinant as

well as this paper will through the calculation and application of the n-order Vander

monde Determinant and discuss the variation of its various location , explores how

to construct a Vander monde Determinant of the determinant calculation. At the time,

in the article it main studies some examples of Vander monde Determinant to heighten

the ability to study.

Key words

Vander monde determinant; Cyclic determinant; Calculating method by adding side;

linear transformation; Multiplication of determinant.

0 引言 范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,...,an则范德蒙行列式为：Dn= | 1 1 1 ... 1 |

| a1 a2 a3 ... an |

| a1^2 a2^2 ...an^2.|

| ... .... |

| a1^ (n-1) a2^ (n-1) ...an^ (n-1) |

共n行n列用数学归纳法. 当n=2时 范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=∏ (xi-xj)(其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为m>=i>j>=2).

首先将行列式的理论脱离开线性方程组的就是数学家范德蒙德，1772年他对行列式做出连贯的逻辑阐述。然而行列式的计算，一直以来都是一个复杂的课题，尤其是那些级数较高，元素较多的高级行列式。范德蒙行列式构造独特，形式优美，是线性代数里一个典型的行列式。而本文主要就是探讨范德蒙行列式的旋转，加边计算法，乘法以及它在线性空间的应用。

1 范德蒙行列式的性质