甘肃省天水市2013年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。）

3．（4分）（2013 天水）下列图形中，中心对称图形有（ ）

4．（4分）（2013 天水）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（ ）

5

．（4分）（2013 天水）如图，直线l1∥l2，则∠α为（ ）

6．（4分）（2013 天水）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）

8．（4分）（2013 天水）从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m，则

2

9．（4分）（2013 天水）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）

10．（4分）（2013 天水）如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（ ）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果） 11．（4分）（2013 天水）已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是 （﹣1，1） ．

12．（4分）（2013 天水）从1至9这9个自然数中任取一个数，使它既是2的倍数又是3的倍数的概率是

．

13．（4分）（2013 天水）已知分式

的值为零，那么x的值是

14．（4分）（2013 天水）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于．

15．（4分）（2013 天水）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程

．

16．（4分）（2013 天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是 2＜r＜8 ．

17．（4分）（2013 天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB

于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是 4﹣π ．

18．（4分）（2013 天水）观察下列运算过程：S=1+3+3+3+…+3

2320132014

①×3得3S=3+3+3+…+3+3 ②， ②﹣①得2S=3

2014

2

3

2012

+3

2013

①，

﹣1，S=．

运用上面计算方法计算：1+5+5+5+…+5

232013

=

．

三、解答题（本大题共3小题，共28

分。解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19．（10分）（2013 天水）Ⅰ．解不等式组

﹣1

，并把解集在数轴上表示出来．

Ⅱ．计算：（π﹣3）+﹣2sin45°﹣（）．

20．（9分）（

2013 天水）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

21．（9分）（2013 天水）某班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况，八年级300名同学零花钱的最主要用途情况，九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据．

（1）七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少；

（2）补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图；

（3）九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？（结果保留一位小数）

四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22．（8分）（2013 天水）如图所示，在天水至宝鸡（天宝）高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面2700米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）

23．（8分）（2013 天水）如图在平面直角坐标系xOy中，函数

y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）． （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．

24．（10分）（2013 天水）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22 400万元，但不超过22 500万元，且所筹资金全部用于生产此

（2）该厂如何生产能获得最大利润？

（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润=售价﹣成本）

25．（12分）（2013 天水）如图1，已知抛物线y=ax+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（

4，4）两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； （3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

2

2 解答：解： (1)∵抛物线 y=ax +bx(a≠0)经过 A(3,0) 、B(4,4)

∴将 A 与 B 两点坐标代入得： ∴抛物线的解析式是 y=x ﹣3x.2

,解得：

,

(2)设直线 OB 的解析式为 y=k1x,由点 B(4,4) , 得：4=4k1,解得：k1=1 ∴直线 OB 的解析式为 y=x, ∴直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为：y=x﹣m, 2 ∵点 D 在抛物线 y=x ﹣3x 上， 2 ∴可设 D(x,x ﹣3x) , 又∵点 D 在直线 y=x﹣m 上， ∴x ﹣3x=x﹣m,即 x ﹣4x+m=0, ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴△=16﹣4m=0, 解得：m=4, 此时 x1=x2=2,y=x ﹣3x=﹣2, ∴D 点的坐标为(2,﹣2) . (3)∵直线 OB 的解析式为 y=x,且 A(3,0) , ∴点 A 关于直线 OB 的对称点 A′的坐标是(0,3) , 根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO, 设直线 A′B 的解析式为 y=k2x+3,过点(4,4) , ∴4k2+3=4,解得：k2= , ∴直线 A′B 的解析式是 y= ,2 2 2

∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO, ∴BA′和 BN 重合， 即点 N 在直线 A′B 上， ∴设点 N(n, ∴ =n ﹣3n,2

) ,又点 N 在抛物线 y=x ﹣3x 上，

2

解得：n1=﹣ ,n2=4(不合题意，舍去) ∴N 点的坐标为(﹣ , ) .

方法一： 如图 1,将△ NOB 沿 x 轴翻折，得到△ N1OB1, 则 N1( , ) 1(4,﹣4) ,B ,

∴O、D、B1 都在直线 y=﹣x 上.第 15 页 共 20 页

∵△P1OD∽△NOB,△ NOB≌△N1OB1, ∴△P1OD∽△N1OB1, ∴ ,

∴点 P1 的坐标为(

,

) . , ) ,

将△ OP1D 沿直线 y=﹣x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2( 综上所述，点 P 的坐标是( , )或( , ) .

方法二： 如图 2,将△ NOB 绕原点顺时针旋转 90°,得到△ N2OB2, 则 N2( , ) 2(4,﹣4) ,B ,

∴O、D、B1 都在直线 y=﹣x 上. ∵△P1OD∽△NOB,△ NOB≌△N2OB2, ∴△P1OD∽△N2OB2, ∴ ,

∴点 P1 的坐标为(

, ) . , ) ,

将△ OP1D 沿直线 y=﹣x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2( 综上所述，点 P 的坐标是(

, )或( , ) .

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