高等代数复习题II

一、填空题

1.设Q有理数域,V={a+b+ca,b,c∈Q}.则dimQV=域F上的向量空间Fn[x]的维数=

线性变换构成的向量空间.则L(V)的维数是2.复数域C作为自身上的向量空间的维数是的维数是

.

,作为实数域R上的向量空间

.

√

√

;数

.设V是n维向量空间,L(V)是V的所有

;全体实数集合R作为Q上的向量空间的维数dimQR=

3.设C表示复数域,R表示实数域,且V={(a+bi,c+di)|a,b,c,d∈R,i2= 1}.则dimRV=

;dimCV=

n

. n

i=1

4.设V={(x1,x2,···,xn)∈F|xi=0},则dimFV=

.

.R3的子空

间L((2, 3,1),(1,4,2),(5, 2,4))的维数是

5.R3的子空间L(x 1,1 x2,x2 x) F[x]的维数是组(2,0,1),(0,1, 2),(1, 1,1)的关系是

.

;而向量

6.已知向量组α1,α2,α3线性无关,而向量组α1+2α2,2α2+λα3,3α3+2α1线性相关,则λ=则a,b满足条件

.向量组β1=(1,1,1),β2=(a,0,b),β3=(1,3,2)线性相关,

.

7.设α1,α2,···,αn是n维向量空间V的一组基.则由这组基到基αn,αn 1,···,α1

的过渡矩阵是

.F3[x]中,由基1,x+1,x2+x+1,x3+x2+x+1

.

到基1,x,x2,x3的过渡矩阵是

8.设A为n阶矩阵,如果方程组AX=O有非零解,则A的行向量α1,α2,···,αn的关系是是

.

;如果AX=O只有零解,则A的列向量β1,β2,···,βn的关系

9.已知{x3,x3+x,x2+1,x+1}是F3[x]的一组基.则x2+2x+3在该基下的坐标是;而向量x2 x在该基下的坐标是

.设R3的基为α1=(1,1,0),α2=

.

(1,0,1),α3=(0,1,1),则向量(2,0,0)在该基下的坐标是

10.在向量空间Fn[x]中,定义线性变换σ(f(x))=f (x), f(x)∈Fn[x],则σ的

核kerσ=

,像Imσ=

.

11.在向量空间Fn中,定义线性变换:σ((x1,x2,···,xn))=(0,x1,···,xn 1).则σ的

核的维数dimkerσ=

,dimImσ=

;且σn=

.

12.在列向量空间Fn中,A=(aij)是秩为r的n阶矩阵.定义线性变换:ση=

Aη, η∈Fn.则dimkerσ=

,dimImσ=

.

13.设V是有限维欧氏空间,σ∈L(V)在V的某组标准正交基下的矩阵是A,则σ是

可逆线性变换的充要条件是A为;σ是对称变换的充要条件是A为

;σ是正交变换的充要条件是A为.

,其中E是3阶

14.设3阶矩阵A与B相似,且A的特征值是1,2,3,则|E+B|=

单位矩阵;而B的伴随矩阵B 的迹trB =15.设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,

|B E|=

.

A2=2A,则|E+B|=,

,tr(E+B)=,其中E是n阶单位矩阵. 32 1

16.已知矩阵A= x 22 有一个特征向量α=(1, 2,3)T,则x=,y=

3y 1

,而α对应的特征值是.

32 2

17.已知矩阵A= k 1k 可以对角化,则k=,而此时A的特征

42 3.值是18.设A是n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根,则A的行列式|A|=

而trA=

.如果A是可逆矩阵,则trA 1=

.

,A 的特

.

;如果(A+

,

19.已知三阶A的特征值是 1,1,2,f(x)=x2+2x+2.则A2特征值是

征值是

,trAk=

;而f(A)的特征值是

,|f(A)|=

20.设A,B是n阶非零矩阵,且AB=B.则A必有特征值

2E)B=O,E为n阶单位矩阵,则A必有特征值21.在欧氏空间C[ 1,1]中,| 1|=

关的单位向量是

.

.

,而x2与x的夹角θ=;与x线性相

22.设α=(2,1,2),β=( 1,4, 1)∈R3,则α与β的夹角=

相关的单位向量为

;而与α线性

.

;与向量α,β都正交的单位向量是

23.设T是3阶正交矩阵,|T|=1,且a+bi是T的一个非实复特征根,α1,α2,α3是T的

列向量.则trT=

, α1+α2,α2+2α3 =

.

24.设U是正交矩阵,α1,α2,···,αn是U的列向量,β1,β2,···,βn是U的行向量,则

当i=j时 αi,αj =βj,βi βj =

.

,当i=j时, αi,αj =

;当i=j时 βi+

22

25.要使二次型q(x1,x2,x3)=x21+4x2+4x3+2tx1x2 2x1x3+4x2x3正定,t的取值

范围是

22

;要使二次型f(x1,x2,x3)=2x21+x2+x3+2x1x2+tx2x3正

定,则t的取值范围是.

22

26.已知二次型q(x1,x2,x3)=x21+x2+4x3+2x1x2 2x1x3+4x2x3，则q的正惯性

指标是正惯性指标是

,符号差是

,符号差是

.二次型q=x1x2+x3x4+···+xnx2n的

27.复数域上的n元二次型按等价分类共有

按等价分类共有

类.

类;而实数域上的n元二次型

28.设q(x1,x2,···,xn)=XTAX是数域F上的n元二次型,且AT=A,则二次型q的

矩阵是二、单项选择题

1.下列集合哪个是Rn的子空间...........................................()

n

nn

A).{(a1,a2,···,an)∈R|a1=an};B).{(a1,a2,···,an)R|i=1ai=1};

n

n

C).{a1,a2,···,an)∈Rn|i=1ai=0};D).{(a1,a2,···,an)∈R|ai∈Z}.2.以下定义的变换,哪个一一定是线性变换?...............................(A).在向量空间V中,σ(ξ)=α,其中α是V中固定向量;B).在R3中,σ(x1,x2,x3)=(x21,x2+x3,x3);

C).在R3中,σ(x1,x2,x3)=(x1 x2,x2+x3,x1+x3);

¯,这里ξ¯是ξ的共轭.D).把复数域C看成自身上的向量空间,σ(ξ)= ξ

3.在多项式空间F[x]中,以下变换不是线性变换的是....................(A).σ(f(x))=f(x+1), f(x)∈F[x];

))

.

B).σ(f(x))=xf2(x), f(x)∈F[x];

C).σ(f(x))=f(x0), f(x)∈F[x],x0是F中固定的数;

x

D).σ(f(x))=0f(t)sintdt, f(x)∈F[x].

4.以下定义的变换为线性变换的是....................................(A).在F2中,σ(a,b)=(a2,a b);

)

B).在F3中,σ(a,b,c)=(a+1,a+b,c);

C).在Mn(F)中,σ(X)=AXB+C,A,B,C∈Mn(F)固定,且C=O;D).在Mn(F)中,σ(X)=AX BX,A,B∈Mn(F)固定.

5.设A是m×n矩阵,秩(A)=m<n.则.................................(A).A的任意m个列向量线性相关;C).A的任意m阶子式不为零;

B).存在A的m个列向量线性无关;D).存在m列非零矩阵B,使得BA=0.

))

6.设A为n阶非零矩阵,且|A|=0.则在A中必有..........................(A).一列(行)全为零;C).两列(行)对应成比例;

B).任意一列(行)是其余列(行)的线性组合;D).有一列(行)是其余列(行)的线性组合;

)

7.设A,B是n阶非零矩阵,且AB=O.以下命题正确的是.................(A).A的列向量线性相关,B的列向量线性相关;B).A的行向量线性相关,B的行向量线性相关;C).A的行向量线性相关,B的列向量线性相关.D).A的列向量线性相关,B的行向量线性相关.

8.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是...................(A).α1+α2,α2+α3,α3+α1C).α1 α2,α2 α3,α3 α1

B).α1,α1+α2,α1+α2+α3D).α1+α2,2α2+α3,3α3+α1

)

9.设向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，则......................(A).α可由β,γ,δ线性表示;C).δ必可由α,β,γ线性表示;

B).β必不可由α,γ,δ线性表示;D).δ必不可由α,β,γ线性表示.

)

10.设向量组(I)αi=(ai1,ai2,ai3)与向量组(II)βi=(ai1,ai2,ai3,ai4),i=1,2,3,以

下结论正确的是.......................................................(A).若(I)线性相关，则(II)线性相关C).若(I)线性相关，则(II)线性无关

B).若(II)线性相关，则(I)线性相关D).若(II)线性无关，则(I)线性无关

)

A).两个对称变换的和还是对称变换;

B).每个非奇异对称矩阵与其逆合同;

C).设A,B是n阶矩阵,且A可逆,则AB与BA相似;D).不存在向量空间与它的真子空间同构.

12.以下哪个是线性变换σ为正交变换的充分但不是必要条件?.............(

A).σ保持向量的长度不变;C).σ保持向量的内积不变;

B).σ保持两个向量的夹角不变;D).σ将标准正交基变为标准正交基.

))

13.以下命题不不正确的是..................................................(

A).不同特征值λ,µ的特征向量的和一定不是特征向量;B).不是每个线性变换都有特征值和特征向量.C).正交的向量组一定线性无关;

D).属于不同特征值的特征向量必正交;

)

14.设n阶矩阵A和B相似,下列语句不不正确的是............................(

A).A可逆的充要条件是B的所有的特征值不为零;B).A,B有相同的特征多项式和行列式;C).trA=trB;

D).A,B有相同的特征向量.

15.下列语句不不正确的是..................................................(

A).n阶矩阵A可逆的充要条件是A的所有的特征值不为零;B).每个实对称矩阵与某个对角矩阵既相似又合同.C).等价的二次型的矩阵合同;

D).每个正交变换都是双射;

)

16.以下关于欧氏空间V的子空间的命题不不正确的是.......................(

A).设W,U≤V,且W U,则U⊥ W⊥;B).设W≤V,则(W⊥)⊥=W;C).设W,U1,U2≤V,且W⊕U1=W⊕U2=V,则U1=U2;D).设W,U1,U2≤V,且W⊕U1=W⊕U2=V,则U1～=U2.

17.设A和B都是n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵.则...........(

A).λE A=λE B;

C).A与B都相似与一个对角矩阵;

)

)

B).A与B有相同的特征值和特征向量;D).对任意数λ,λE A与λE B相似.

A).任意n阶可逆矩阵可以作为n维向量空间的两组基的过渡矩阵;B).如果T 1AT=B,则Bn=T 1AnT,n是正整数;C).向量空间的单线性变换一定是一一映射.D).每一个线性变换至少有两个不变子空间;

19.以下在R3中定义的线性变换不可以对角化的是........................(

A).σ((x1,x2,x3))=(x1,x2,0).C).σ((x1,x2,x3))=(2x2,2x1,x3).

B).σ((x1,x2,x3))=(x1, x2, x3).

)

D).σ((x1,x2,x3))=(x2+x3,x3,0).

)

20.以下n阶非零矩阵A不可以对角化的是.................................(

A).A有n个线性无关的特征向量;C).A2=A;

B).A2=E,E是n阶单位矩阵;D).Ak=O,k≥2.

21.满足以下条件的n阶非零实矩阵不可以对角化的是.....................(

A).A=AT;

C).A2+A 2E=O;

B).行列式小于0的2阶矩阵A

)

D).主对角线全是零的上三角矩阵A.

22.设σ是有限维欧氏空间V的线性变换,考虑以下命题:(1)σ是正交变换;(2)σ保

持向量的内积不变;(3)σ保持两个向量的夹角不变;(4)σ在V的某组标准正交基下的矩阵是正交矩阵;(5)σ在V的任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.则上述命题彼此等价最完整的一组是..................................(A).(1),(3),(5)

B).(1),(2),(4),(5)

C).(1),(2),(3),(5)

D).(1)–(5)

))

23.下列关于欧氏空间V的命题不不正确的是................................(

A).如果V的变换σ保持内积不变,则σ是正交变换;B).设α∈V,则α=0的充要条件是 α,β =0, β∈V.C).两个正交变换的和还是正交变换;

D).两个对称变换的和还是对称变换;

)

24.下列语句正确的是.....................................................(

A).n阶矩阵A相似与对角矩阵的充要条件是A有n个单根;B).任意n阶矩阵都可以作为两组基之间的过渡矩阵;

C).两个对称变换的乘积还是对称变换;D).有限维向量空间的任意两组基是等价的.

25.设A是n阶实对称矩阵,以下命题与”A是正定矩阵”不等价的是.........(

A).A的所有的特征值大于0;C).A合同于n阶单位矩阵E;

)

B).存在实对称可逆矩阵B,使得A=B2;D).A的主对角线元素全大于0.

22

26.设A是二次型q(x1,x2,x3)=x21 x2+2x3+4x2x3的矩阵,则A在实数域上合同

于....................................................................()

A).diag{1, 1,0}B).diag{1,1, 1}C).diag{1, 1, 1}D).diag{ 1, 1,0}27.设A是n阶实对称矩阵,P是n阶实可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征

值λ的特征向量.则矩阵(P 1AP)T属于特征值λ的特征向量是.......(A).P 1α

B).PTα

C).Pα

D).(P 1)Tα.

))

2228.二次型f=x21 2x1x2+ax2+bx3的秩和正惯性指标都是3,则.......(

A).a=1,b=0;三、证明题

B).a>1,b>0;C).a>1,b=0;D).a=1,b>0.

1.设Mn(F)表示数域F上全体n阶矩阵做成的向量空间.定义Mn(F)上的线性变换:σ(A)=AT, A∈Mn(F).令P={A∈Mn(F)|A=AT},T={A∈Mn(F)|A= AT},其中AT表示矩阵A的转置.(a)证明σ的特征值是1和 1;

(b)证明P和T都是Mn(F)的子空间,且是σ的不变子空间;(c)Mn(F)=P⊕T.

2.证明n维欧氏空间V的两个正交变换的乘积还是正交变换;两个对称变换的和还是对称变换.

3.设σ,τ是向量空间V的两个线性变换,且στ=τσ.证明ker(σ)和Im(σ)都在τ下不变.

4.设σ是n维向量空间V的线性变换.0=η∈V,且σk(η)=0,k=1,2,···,n 1,而σn(η)=0.证明:

(a)η,σ(η),σ2(η),···,σn 1(η)线性无关;(b)σ的全部特征值是0;

(c)σ在V的任意一组基下的矩阵不是对角矩阵.5.设A为n阶矩阵,且A2 A=2E.证明A可对角化.

6.设σ是向量空间Fn 1[x]的微分变换,即σ(f(x))=f (x), f(x)∈Fn 1[x],其中f (x)为f(x)的导数.

12131

(1)写出σ在基1,x,x,x,···,xn 1下的矩阵;并求σ的全部特征值是0;(2)证明:σ在Fn 1[x]的任意一组基下的矩阵不是对角矩阵.

7.设σ是n维欧氏空间V的线性变换,证明,如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必然满足第三个:

(i)σ2=IV,IV是V的单位变换;(ii)σ是正交变换;(iii)σ是对称变换.8.设A是非奇异实矩阵,证明存在正交矩阵U和正定矩阵S,使得A=US.四、计算题

1.设V是3维向量空间的一组基:α1,α2,α3.且向量组β1,β2,β3满足

β1+β3=α1+α2+α3,β1+β2=α2+β3,β2+β3=α1+α3.(a)证明β1,β2,β3也是V的一组基;

(b)求由基β1,β2,β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵T;(c)求α=α1+2α2 α3在基β1,β2,β3下的坐标.

2.设σ是数域F上向量空间V的线性变换.σ关于基α1,α2,α3的矩阵是

13 2 A= 12 1 ,

221

求σ关于基β1=2α1+α2+3α3,β2=α1+α2+2α3,β3=α1+α2+α3的矩阵;设向量ξ=2α1 α2 α3,求σ(ξ)关于基β1,β2,β3的坐标.

3.设σ是数域F上向量空间V的线性变换.σ关于基α1,α2,α3的矩阵是

15 115β=2α1+3α2+α3 1

A= 20 158 ,且β2=3α1+4α2+α3

β=α+2α+2α8 763123

是V的一组基,求σ在β1,β2,β3下的矩阵B;设向量ξ=2α1+α2 α3,求σ(ξ)关于基β1,β2,β3的坐标.

4.在R3定义线性变换σ如下:

σ(α1)=( 5,0,3),

σ(α2)=(0, 1,6), σ(α3)=( 5, 1,9)

α1=( 1,0,2),

其中α2=(0,1,2),

α3=(3, 1,0)

(a)求σ在R3的标准基ε1,ε2,ε3下的矩阵A;σ在基α1,α2,α3下的矩阵B.(b)设向量ξ=2α1+α2 α3,求σ(ξ)关于α1,α2,α3的坐标.(c)求σ的特征值和特征向量;

(d)σ是否可以对角化？为什么？

12 3

5.已知A= 14 3 有一个二重特征根,求a的值并讨论A是否可以对角

1a5

化？在可以对角化的条件下求Ak.6.已知F2[x]的线性变换σ(a+bx+cx2)=(4a+6b)+( 3a 5b)x+( 3a 6b+c)x2.σ是否可以对角化?如果可以,求F2[x]的一组基使得σ在该基下的矩阵是对角矩阵.

7.已知3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=1,λ2= 1,λ3=0,对应的特征向量分别是α1=(1,a,1) ,α3=(a,a+1,1) .求矩阵A.

8.已知3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=8,λ2=λ3=2.对应于λ1=8的特征向量是α1=(1,k,1) ,对应于λ2=λ3=2的特征向量是α2=( 1,1,0).求k的值以及λ2的令一个特征向量α3和矩阵A.

9.设V为4维欧氏空间,ε1,ε2,ε3,ε4为V的一组标准正交基,W=L(α1,α2),其中α1=ε1+ε2,α2=ε1+ε2 ε3.求W⊥的一组标准正交基.

10.用初等变换化以下二次型为标准型,并写出相应的线性替换.

22

(a)f(x1,x2,x3)=x21+2x2+4x3+2x1x2+4x2x3;22(b)f(x1,x2,x3)=x21+2x2+3x3+4x1x2+2x1x3+2x2x3;2(c)q(x1,x2,x3)=x21 2x1x2 3x2+2x1x3 6x2x3;

(d)q(x1,x2,x3)= 4x1x2+2x1x3+2x2x3;

22(e)f(x1,x2,x3)=x21+2x2+4x2x3+2x1x2+4x3;22(f)f(x1,x2,x3)=x21+4x2+4x3 4x1x2+4x1x3 8x2x3.

五、综合题

1.已知欧氏空间R3的一个线性变换σ:对任意的(x1,x2,x3)∈R3,

σ(x1,x2,x3)=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+ax2+2x3).

且σ有一个二重特征值.(1)求a的值;(2)σ是否可以对角化?如果可以,求出R3的一组标准正交基使得σ在该基下的矩阵是对角的;如果不可以,说明理由.2.在欧氏空间R3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R3,

σ((x1,x2,x3))=(2x1 x2 x3, x1+2x2 x3, x1 x2+2x3).(a)写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A;并证明σ是对称变换;(b)求A的所有特征值和特征向量;

(c)求R3的一组标准正交基,使得σ在该基下的矩阵是对角矩阵.3.已知R3的线性变换, (x1,x2,x3)∈R3:

σ(x1,x2,x3)=(x1+x2+ax3,x1+ax2+x3,ax1+x2+x3).

(1).写出σ在R3的标准正交基 1, 2, 3下的矩阵A,并证明对任意a∈R,σ是对称变换;

(2).已知β=(1,1, 2)T,X=(x1,x2,x3)T,且AX=β无解,求a的值;(3).在(2)的条件下,求正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵.

1 24

4.已知A= 2x 2 与对角矩阵Λ=diag{5, 4,y}相似,求x,y的值,并

4 21

求正交矩阵Q使得QTAQ=Λ.