高等代数复习题II

高等代数复习题II

一、填空题

1.设Q有理数域,V={a+b+ca,b,c∈Q}.则dimQV=域F上的向量空间Fn[x]的维数=

线性变换构成的向量空间.则L(V)的维数是2.复数域C作为自身上的向量空间的维数是的维数是

.

,作为实数域R上的向量空间

.

√

√

;数

.设V是n维向量空间,L(V)是V的所有

;全体实数集合R作为Q上的向量空间的维数dimQR=

3.设C表示复数域,R表示实数域,且V={(a+bi,c+di)|a,b,c,d∈R,i2= 1}.则dimRV=

;dimCV=

n

. n

i=1

4.设V={(x1,x2,···,xn)∈F|xi=0},则dimFV=

.

.R3的子空

间L((2, 3,1),(1,4,2),(5, 2,4))的维数是

5.R3的子空间L(x 1,1 x2,x2 x) F[x]的维数是组(2,0,1),(0,1, 2),(1, 1,1)的关系是

.

;而向量

6.已知向量组α1,α2,α3线性无关,而向量组α1+2α2,2α2+λα3,3α3+2α1线性相关,则λ=则a,b满足条件

.向量组β1=(1,1,1),β2=(a,0,b),β3=(1,3,2)线性相关,

.

7.设α1,α2,···,αn是n维向量空间V的一组基.则由这组基到基αn,αn 1,···,α1

的过渡矩阵是

.F3[x]中,由基1,x+1,x2+x+1,x3+x2+x+1

.

到基1,x,x2,x3的过渡矩阵是

8.设A为n阶矩阵,如果方程组AX=O有非零解,则A的行向量α1,α2,···,αn的关系是是

.

;如果AX=O只有零解,则A的列向量β1,β2,···,βn的关系

9.已知{x3,x3+x,x2+1,x+1}是F3[x]的一组基.则x2+2x+3在该基下的坐标是;而向量x2 x在该基下的坐标是

.设R3的基为α1=(1,1,0),α2=

.

(1,0,1),α3=(0,1,1),则向量(2,0,0)在该基下的坐标是

10.在向量空间Fn[x]中,定义线性变换σ(f(x))=f (x), f(x)∈Fn[x],则σ的

核kerσ=

,像Imσ=

.

11.在向量空间Fn中,定义线性变换:σ((x1,x2,···,xn))=(0,x1,···,xn 1).则σ的

核的维数dimkerσ=

,dimImσ=

;且σn=

.

12.在列向量空间Fn中,A=(aij)是秩为r的n阶矩阵.定义线性变换:ση=

Aη, η∈Fn.则dimkerσ=

,dimImσ=

.

13.设V是有限维欧氏空间,σ∈L(V)在V的某组标准正交基下的矩阵是A,则σ是

可逆线性变换的充要条件是A为;σ是对称变换的充要条件是A为

;σ是正交变换的充要条件是A为.

,其中E是3阶

14.设3阶矩阵A与B相似,且A的特征值是1,2,3,则|E+B|=

单位矩阵;而B的伴随矩阵B 的迹trB =15.设n阶矩阵A与B相似,且A的秩r(A)=r,

|B E|=

.

A2=2A,则|E+B|=,

,tr(E+B)=,其中E是n阶单位矩阵. 32 1

16.已知矩阵A= x 22 有一个特征向量α=(1, 2,3)T,则x=,y=

3y 1

,而α对应的特征值是.

32 2

17.已知矩阵A= k 1k 可以对角化,则k=,而此时A的特征

42 3.值是18.设A是n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根,则A的行列式|A|=

而trA=

.如果A是可逆矩阵,则trA 1=

.

,A 的特

.

;如果(A+

,

19.已知三阶A的特征值是 1,1,2,f(x)=x2+2x+2.则A2特征值是

征值是

,trAk=

;而f(A)的特征值是

,|f(A)|=

20.设A,B是n阶非零矩阵,且AB=B.则A必有特征值

2E)B=O,E为n阶单位矩阵,则A必有特征值21.在欧氏空间C[ 1,1]中,| 1|=

关的单位向量是

.

.

,而x2与x的夹角θ=;与x线性相

22.设α=(2,1,2),β=( 1,4, 1)∈R3,则α与β的夹角=

相关的单位向量为

;而与α线性

.

;与向量α,β都正交的单位向量是

23.设T是3阶正交矩阵,|T|=1,且a+bi是T的一个非实复特征根,α1,α2,α3是T的

列向量.则trT=

, α1+α2,α2+2α3 =

.

24.设U是正交矩阵,α1,α2,···,αn是U的列向量,β1,β2,···,βn是U的行向量,则

当i=j时 αi,αj =βj,βi βj =

.

,当i=j时, αi,αj =

;当i=j时 βi+

22

25.要使二次型q(x1,x2,x3)=x21+4x2+4x3+2tx1x2 2x1x3+4x2x3正定,t的取值

范围是

22

;要使二次型f(x1,x2,x3)=2x21+x2+x3+2x1x2+tx2x3正

定,则t的取值范围是.

22

26.已知二次型q(x1,x2,x3)=x21+x2+4x3+2x1x2 2x1x3+4x2x3，则q的正惯性

指标是正惯性指标是

,符号差是

,符号差是

.二次型q=x1x2+x3x4+···+xnx2n的

27.复数域上的n元二次型按等价分类共有

按等价分类共有

类.

类;而实数域上的n元二次型

28.设q(x1,x2,···,xn)=XTAX是数域F上的n元二次型,且AT=A,则二次型q的

矩阵是二、单项选择题

1.下列集合哪个是Rn的子空间...........................................()

n

nn

A).{(a1,a2,···,an)∈R|a1=an};B).{(a1,a2,···,an)R|i=1ai=1};

n

n

C).{a1,a2,···,an)∈Rn|i=1ai=0};D).{(a1,a2,···,an)∈R|ai∈Z}.2.以下定义的变换,哪个一一定是线性变换?...............................(A).在向量空间V中,σ(ξ)=α,其中α是V中固定向量;B).在R3中,σ(x1,x2,x3)=(x21,x2+x3,x3);

C).在R3中,σ(x1,x2,x3)=(x1 x2,x2+x3,x1+x3);

¯,这里ξ¯是ξ的共轭.D).把复数域C看成自身上的向量空间,σ(ξ)= ξ

3.在多项式空间F[x]中,以下变换不是线性变换的是....................(A).σ(f(x))=f(x+1), f(x)∈F[x];

))

.

B).σ(f(x))=xf2(x), f(x)∈F[x];

C).σ(f(x))=f(x0), f(x)∈F[x],x0是F中固定的数;

x

D).σ(f(x))=0f(t)sintdt, f(x)∈F[x].

4.以下定义的变换为线性变换的是....................................(A).在F2中,σ(a,b)=(a2,a b);

)

B).在F3中,σ(a,b,c)=(a+1,a+b,c);

C).在Mn(F)中,σ(X)=AXB+ …… 此处隐藏：6976字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……