数学竞赛试题

第十届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第2试

一、选择题（每小题6分）

1、已知y=f(x)是定义在R上的单调函数，则

(A)函数x=f 1(y)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称

(B)函数f( x)与f(x)的图象关于原点对称

(C)f( x)和f(x)的单调性相反

(D)函数f(x+1)和f 1(x) 1的图象关于直线y=x对称

2、已知a,b,c彼此不等，并且它们的倒数成等差数列，则a b= c b

aaaa (B) (C) (D) ccbb

a2223、已知椭圆ax y=1的焦距是4，则a=

2(A)

(A) 1±

1

1

1 (B) (C) (D) 2222

4、棱长为1的正方体和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一个圆及它的内接正三角形，那么球心到该截面的距离等于

(B) (C) (D) 3

6

12

1

i35、在复平面内由,i 1)对应的点构成的三角形的最大内角等于

(A)π

(B) (C)45° (D)120° 6、P是双曲线f上的任意一点，F是f的一个焦点，l是与F对应的准线，P到l的距离为d，f的准线间距为L，焦距为c，则下面关系式中成立的是 (A) |PF|c|PF|L> (B) =

dLdc2 7、若函数y=log1|x+a|的图象不经过第二象限，则a的取值范围是

(A)（0，+∞） (B) [1，+∞） (C) （-∞，0） (D) （-∞，-1]

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8、若函数y=cosx 3cosx a的最小值是

5

232 3

252 3

223y，则a的值域是 252(A) [2,2] (B) [2,2] (C) [2,2] (D) [2,2]

9、函数y=x≤1)的曲线长度是 2π4π8π2

(A) (B) (C) 2π (D) 333

10、已知n∈N，常数p,q均大于1，且都不等于2，则limn→+∞pn+1 qn= n+2n+1p 2q

(A) 111111p 1111 p或 (B) 或 (C) 或或2 (D) 或 或2 p2qpp2qp 2qp2q2qp 2q

二、填空题

11、将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体，这个多面体的面数最少可达到______.

12、某个圆的圆心在双曲线的一条准线上，并且圆经过双曲线的一个顶点和一个焦点，则双曲线的离心率是_______.

13、若无穷等比数列{an}满足lim

2a1+a4+a7+"+a3n 23=，则该数列的公比是______. n→+∞a1+a2+"+an414、已知函数lg(ax 2x+1)的值域是一些实数，则实数a的取值范围是___________. cos 990+ sin 990

的最小正整数x是____. 15、适合方程tanx=00cos 99 sin 99

16、数列,1111,,，…的前n项和等于__________. 3153563

22则2x 3y的最大值和最小值的和等于_____. 17、实数x,y满足方程x+y=6x 4y 9，

18、直线l:ax y (a 5)=0与抛物线f:y=(x+1)的相交弦是AB，则AB的中点的轨迹方程是__________.

19、在一支15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85克每立方厘米，现在点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是______.

20、某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停一次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度为S，为使S最小，电梯应当停在第_____层.

三、解答题（每题15分） 2

数学竞赛试题

21、已知

点A和曲

线y=(2≤x≤上的点P1,P2,",Pn，若1|PA|,|PA|,"

,|PA|成等差数列并且公差∈d(，求n的最大值。 12n522、设x1,x2,x3,y1,y2,y3是实数，且满足x1+x2+x3≤1。证明不等式：222(x1y1+x2y2+x3y3 1)2≥(x12+x22+x32 1)2(y12+y22+y32 1)2