数学选修2-2 利用导数研究函数的极值1

利用导数研究函数的极值

数学选修2-2 利用导数研究函数的极值1

数学选修2-2 数学选修

1.3.2利用导数研究函数的极值 1.3.2利用导数研究函数的极值 新 课 标 人 教 版 B

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一 教学内容分析

(一) 教材的地位和作用《利用导数研究函数的极值》是新课标人教B版教材选 利用导数研究函数的极值》是新课标人教 版教材选 第一章第三节的第二小节。 修2-2第一章第三节的第二小节。第三章的内容主要分为两 第一章第三节的第二小节 个部分：一是导数的概念、运算及其应用； 个部分：一是导数的概念、运算及其应用；二是定积分的 概念和微积分基本定理。 概念和微积分基本定理。本节属于导数的应用部分 ，是本 章的重点之一，也是高考题中经常考察的部分。 章的重点之一，也是高考题中经常考察的部分。前面有了 导数的概念、运算做基础， 导数的概念、运算做基础，而且还研究过了利用导数研究 函数的单调性，后面是《导数的实际应用》 函数的单调性，后面是《导数的实际应用》, 所以本节在 整个章节中起到了承上启下的作用。 整个章节中起到了承上启下的作用。

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(二)数学思想方法分析

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更 重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节 课在教学中力图向学生展示观察、归纳等数学方法， 培养学生严谨的学习态度。注重使学生学会数学思考 的一种方式——几何直观。通过图形用导数的几何意 义去解决问题的过程中(如导函数的正负体现了原函 数的增减变化等),学会一种数学思考的数学学习方 式。

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(三)教学目标1、基础知识目标： 对于可导函数，明确其定义域内一 点是极值点的充分必要条件；能够利用导数求极值、闭 区间最值。 2 2、能力训练目标：培养学生观察、归纳等方法。学会 通过几何直观解决问题。

3、情感目标：让学生在学习的过程中体验凡事都要 认真对待的态度。

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(三)重点、难点 重点、

本节的重点是利用导数知识求函数的极值；难点在于建立导 函数正负和原函数增减之间的关系；关键是能够利用图像解 决以上问题。

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教法 分析

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此， 数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教 学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“ 学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以 为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律， 然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律， 体现循序渐进与启发式的教学原则， 体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法 设计：在教师的引导下，创设情景，

设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设 置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨， 置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨，使之获得 内心感受。 内心感受。

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学法 分析

数学作为基础教育的核心课程之一， 数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习 方式，不仅有利于提高学生的数学素养， 方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促 进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导， 进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导， 辅以多媒体手段， 辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教 学方法，结合师生共同讨论、 学方法，结合师生共同讨论、归纳 。

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教学过程设计

1.创设情境 创设情境——引入概念； 引入概念； 创设情境 引入概念 观察归纳——形成概念。 形成概念。 观察归纳 形成概念 2.讨论研究 讨论研究——深化概念 。 讨论研究 深化概念 3.总结知识 总结知识——给出步骤。 给出步骤。 总结知识 给出步骤 4.即时训练 即时训练——巩固新知 。 即时训练 巩固新知 5.深入探讨 深入探讨——提高认识。 提高认识。 深入探讨 提高认识 6.任务后延 任务后延——自主探究 。 任务后延 自主探究

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1.创设情境 创设情境——引入概念； 引入概念； 创设情境 引入概念 观察归纳——形成概念 观察归纳 形成概念 (1)教材由山峰、山谷的实例，引入极大 )教材由山峰、山谷的实例， 极小值、极值、极值点等概念， 值、极小值、极值、极值点等概念，非常 直观， 直观，贴近生活 (2)我在这里借助一个函数图像，把生活 )我在这里借助一个函数图像， 和数学联系起来， 和数学联系起来，培养学生应用数形结合 方法的习惯。 方法的习惯。

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例1在点x 在点 观察图像： 观察图像： 函数 y=f (x)在点 1 、x2 、x3 、x4处的 函数值f 函数值 (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4),与它们左右 、 、 、 , 近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 近旁各点处的函数值，相比有什么特点

y f (x1) f(x3)

y=f(x) =

f(x2) O a x1 x2

f(x4) b x

x3 x4

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(2)讨论研究 )讨论研究——深化概念 深化概念 在这里通过两个函数图象使学生更加明确 了极值和极值点的区别、 了极值和极值点的区别、极大值和极小值 之间没有必然的大小关系、 之间没有必然的大小关系、极值和最值间 的区别和联系。 的区别和联系。

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探究

1、图中有哪些极值点和最值点？ 图中有哪些极值点和最值点？ 图中有哪些极值点和最值点

2、函数极值点可以有多个吗？极大值一 、函数极值点可以有多个吗？ 定比极小值大么

? 定比极小值大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别? 、最值和极值有什么联系和区别 4、端点可能是极值点吗？ 、端点可能是极值点吗？ y y = f (x )y y = f (x )

a o bx

c d e

o f g

h

i

j

x

图1.3 10

图1.3 11

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(3)总结知识——给出步骤 总结知识 给出步骤 教材中是先通过一个函数图象的观察给出必 要条件，然后讨论求极值的步骤， 要条件，然后讨论求极值的步骤，最后给出充 要条件。这样的好处在于： 要条件。这样的好处在于：在探讨求极值步骤 的时候更加深化了对“变号”的要求。 的时候更加深化了对“变号”的要求。充要条 件顺理成章。 件顺理成章。我在讲课的时候调整了教材顺序 3 y 先通过图象探讨， ,先通过图象探讨，以及 = x 在= 0 x 处情况给出充要条件， 处情况给出充要条件，然后再过渡到求极值 的步骤问题。 的步骤问题。这样一个问题在一处得到彻底 解决，使学生理解和记忆的更加透彻。 解决，使学生理解和记忆的更加透彻。

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y y=f(x) =

f ′(x)>0 f ′(x)>0 x1 x2

f ′(x)<0

f ′(x)<0 O a

b x

已知函数f(x)在点 0处是连续的，且 f ′(x0)=0则 已知函数 在点x 处是连续的 则 在点 连续1、如果在x0附近的左侧 ’(x)>0,右侧f 、如果在 附近的左侧f ,’(x)<0,

是极大值； 则f (x0)是极大值； 是极大值

2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0,右侧f ’(x)>0, 则f (x0)是极小值； 、如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 是极小值； 是极小值

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左右两侧， 在x=0左右两侧，导函数的 左右两侧 正负没有发生变化。 正负没有发生变化。X=0不 不 是极值点。 是极值点。