2003年全国高中数学联合竞赛试题及答案

高中数学联赛

2003年全国高中数学联赛

第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003

项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

2． 设a, b R, ab≠0，那么，直线 ax y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

(A) (B) (C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60 的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，

弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 16168

(B) (C) (D)83

333

2 5

4． 若x [ , ]，则y= tan(x+) tan(x+)+cos(x+)的最大值是

312366

(A)

(A)

12111211

2 (B)2 (C)3 (D) 5656

94

+的最小值是 2

4 x29 y

5． 已知x,y都在区间( 2,2)内，且xy＝ 1，则函数u=

(A)

8121224

(B) (C) (D) 55711

6． 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为

面体ABCD的体积等于 (A)

311

(B) (C) (D) 2323

3

，则四

二、填空题(每小题9分,满分54分)

7． 不等式|x|3 2x2 4|x|+3＜0的解集是__________.

x2y2

1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F28． 设F1,F2是椭圆94

的面积等于__________.

9． 已知A={x|x2 4x+3＜0,x R}, B={x|21 x a≤0, x2 2(a+7)x+5≤0,x R}．若A B, 则实数

a的取值范围是____________.

高中数学联赛

10． 已知a,b,c,d均为正整数，且logab=

35

, logcd=，若a c=9, 则b d=________. 24

11． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球

相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．

设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2 an|ai只取0或1(i=1,2,…,n 1)，an=1}，Tn是

Sn

=_______.

n Tn

Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim三、解答题(每小题20分，满分60分) 1. 已知

2. 设A、B、C分别是复数z0 ai,z1

3

x 5,证2x 1 2x 3 3x 2 2

1

bi,z2 1 ci(a,b,c R)对应的不共线三点。 2

证：曲线z z0cos4t 2z1cos2tsin2t z2sin4t(t R)与 ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。

3. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点

A 刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

第二试

1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使 DAQ PBC。求证： DBQ PAC

3t 3m 3n

2、设三角形的三边长分别是整数l,m,n且l m n,已知 4 4 4 ，其中

10 10 10

{x} x [x]，求这种三角形周长的最小值。

3、由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n q q 1，

2

l

1

q(q 1)2 1,q 2,q N，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存2

在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形）。