电子科技大学 2008 至2009 学年第 一 学期

微积分（上）期末课程考试题（120 分钟） 考试日期 200 9 年 1 月 12 日

一、选择题 (15分)

1. 设f(x)

sin(t2) dt, g(x) x6, 则当x 0时, (x)是 (x)的 ………………………… ( ) .

0 x

2

1

3

（A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小； （C）等价无穷小； （D）同阶无穷小但不等价.

2. 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f (0)存在，则函数g(x)

f(x)x

…………… （ ）.

（A）有跳跃间断点x 0； （B）有可去间断点x 0； （C）在x 0处左极限不存在； （D）在x 0处右极限不存在. 3. 设曲线为y

sinxx

arctan(1

，则以下正确的是

……………………………… （ ）.

0

（A）曲线没有渐近线； （B）曲线有垂直渐近线x（C）曲线有水平渐近线y

2

；

2

； （D）曲线有水平渐近线y .

4. 下列等式中正确的是…………………………………………………………………… （ ） （A） f(x)dx f(x)；（B）d f(x)dx f(x)；（C） f (x)dx f(x)；（D d[f(x)] f(x). 5. 若连续曲线y f1(x)与y f2(x)在[a,b]上关于x轴对称，则定积分 f1(x)dx f2(x)dx

a

a

b

b

的值为 ……………………………………………………………………………………… （ ） （A）2 f1(x)dx； （B）2 f2(x)dx； （C） [f1(x) f2(x)]dx； （D 0

a

a

a

b

b

b

二、填空题（15分）：

1. 设f(x)可微，y f()，則dy ______________.

x1

2. 曲线y xe2x在区间 _________ 是上凸 (凸)的，在区间 _________ 是下凸 (凹)的. 3. 定积分 4.

2 2

x |x|2 x

2

dx

+ 0

x

le e

x

dx .

5. 设函数

1, 0 x 1,

f(x)

x, x 1,

则当a 0时， f(x)dx .

a

三、（10分，每小题5分） 1. 求极限 lim sinx

21 lnx

; 2. 设y ln(1 x) (x 1)，求n阶导数y(n).

x 0

四、（10分，每小题5分） 1. 计算定积分

0

x； 2. 求不定积分

x

；

2

1

五、（8分）试求函数f(x) x3 (x2

1)3在闭区间[0,2].上的最大值与最小值.

六、（8分）巳知f(x)的一个原函数为e x2

，求 1

x f (x)dx..

1x

七、（8分）求微分方程y

y xy

2

滿足初始条件y(1) 1的特解.

八、（10分）求曲线y x(2 x)与直线y 2 x所围成的平面图形的面积及该平面图形绕y轴旋

转一周所得旋转体的体积.

九、（8分）证明：方程

十、（8分）设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f (x) 0 ，证明：(b a)

f(a) f(b)

2

b a

x 0

xt

2

1 t

t 2

110

在(0,1)內有且仅有一个实根.

f(x)dx

；