2012年西城区初三数学第一学期期末试题及答案(北区)

发布时间:2024-11-21

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷(北区)

九年级数学 2012.1

一、选择题(本题共32分,每小题4分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. ..1.抛物线y (x 1)2 1的顶点坐标为

A.(1,1) B.(1, 1) C.( 1,1) D.( 1, 1)

2.若相交两圆的半径分别为4和7,则它们的圆心距可能是 A.2 B.3

C. 6

D.11

3.在Rt△ABC中,∠ C=90°,若BC=

1,ABtanA的值为

A1

B C. D.2 2

4.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于E,连接BD,若∠D=30°, BD=2,则AE的长为

A.2

B.3 C.4

D.5

5.若正六边形的边长等于4,则它的面积等于

A.

B. C. D.

6.如图,以点D为位似中心,作△ABC的一个位似三 角形A1B1C1,A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1, DA1与DA的比值为k,若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上,则k的值和点C1的坐标分 别为

A.2,(2,8) B.4,(2,8) C.2,(2,4) D.2,(4,4)

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 1 页(共 15 页)

7.如图,抛物线y ax2 bx c与x轴交于点( 1,0),对称轴为

x 1,则下列结论中正确的是

A.a 0

B.当x 1时,y随x的增大而增大 C.c 0

D.x 3是一元二次方程ax2 bx c 0的一个根

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,2),⊙C的圆 心为点C( 1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段 DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是 A.2 B. C

.2

二、填空题(本题共16分,每小题4分)

9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠OCB=40°,则∠A=.

10.将抛物线y x2先向下平移1个单位长度后,再向右平移1个 单位长度,所得抛物线的解析式是 .

11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4 .以斜

边AB的中点D为旋转中心,把△ABC按逆时针方向旋转 角 (0 120 ),当点A的对应点与点C重合时,B,C两点 的对应点分别记为E,F,EF与AB的交点为G,此时 等于

,△DEG的面积为

12.已知二次函数y x2 x,(1)它的最大值为(2)若存在实数m,n使得当

自变量x的取值范围是m≤x≤n时,函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n,则

m=n=.

8 3

D

.2 22

1

2

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 2 页(共 15 页)

三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13

.计算:cos30 2sin245 .

14.已知关于x的方程x2 2x 2k 3 0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围;

(2)若k为符合条件的最大整数,求此时方程的根.

15.已知抛物线y x2 4x 5.

(1)直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标;

(2)用配方法将y x2 4x 5化成y a(x h)2 k的形式.

16.已知:如图,在菱形ABCD中,E为BC边上一点,

∠AED=∠B.

(1)求证:△ABE∽△DEA;

(2)若AB=4,求AE DE的值.

17.学校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另

三边用总长为36米的篱笆恰好围成(如图所示).设矩形 的一边AB的长为x米(要求AB<AD),矩形ABCD 的面 积为S平方米.

(1)求S与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围; (2)要想使花圃的面积最大,AB边的长应为多少米?

18.如图,在Rt△ABC中, C 90 ,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E. 4

(1)若AD=10,sin ADC ,求AC的长和tanB的值;

5

(2)若AD=1, ADC= ,参考(1)的计算过程直接写 出tan

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 3 页(共 15 页)

2

的值(用sin 和cos 的值表示).

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形PABC的边长为1,将其沿x轴的正方向

连续滚动,即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形,再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形,依此方法继续滚动下去得到第四个正方形,…,第n个正方形.设滚动过程中的点P的坐标为(x,y).

(1)画出第三个和第四个正方形的位置,并直接写出第三个正方形中的点P的坐标; (2)画出点P(x,y)运动的曲线(0≤x≤4),并直接写出该曲线与x轴所围成区域的

面积.

20.已知函数y x2 bx c(x ≥ 0),满足当x =1时,y 1,

且当x = 0与x =4时的函数值相等.

(1)求函数y x2 bx c(x ≥ 0)的解析式并画出它的 图象(不要求列表);

(2)若f(x)表示自变量x相对应的函数值,且

x2 bx c (x 0),

又已知关于x的方程 f(x)

2 (x 0),

f(x) x k有三个不相等的实数根,请利用图象直接写出实数k的取值范围.

21.已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线与 ⊙O的交点为D,DE⊥AC,与AC的延长线交于点E. (1)求证:直线DE是⊙O的切线; (2)若OE与AD交于点F,cos BAC

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 4 页(共 15 页)

4DF,求的值. 5AF

22.阅读下列材料:

题目:已知实数a,x满足a>2且x>2,试判断ax与a x的大小关系,并加以说明. 思路:可用“求差法”比较两个数的大小,先列出ax与a x的差y ax (a x),再 说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法:

简解:可将y的代数式整理成y (a 1)x a,要判断y的符号可借助函数y (a 1)x a的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题:

已知a,b,c都是非负数,a<5,且 a2 a 2b 2c 0,a 2b 2c 3 0. (1)分别用含a的代数式表示4b,4c; (2)说明a,b,c之间的大小关系.

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.已知抛物线y kx2 (k 2)x 2(其中k 0).

(1)求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示); (2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m,n),直接写出n的最小值; (3)将该抛物线先向右平移

11

个单位长度,再向上平移个单位长度,随着k的变化,2k

平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上,求这个新函数的解析式(不要

求写自变量的取值范围).

24.已知:如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足 MAN 45 ,连结MC,NC,MN.

(1)填空:与△ABM相似的三角形是△ BM DN= ;(用含a的代

数式表示)

(2)求 MCN的度数;

(3)猜想线段BM,DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论.

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 5

25.已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),

C(n, 3)(其中n>0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发,在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动,当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为l,△POC的面积为S,S与l的函数关系的图象如图2所示,其中四边形ODEF是等腰梯形.

(1)结合以上信息及图2填空:图2中的m; (2)求B,C两点的坐标及图2中OF的长;

(3)在图1中,当动点P恰为经过O,B两点的抛物线W的顶点时, ① 求此抛物线W的解析式; ② 若点Q在直线y 1上方的抛物线W上,坐标平面内另有一点R,满足以B,

P,Q,R四点为顶点的四边形是菱形,求点Q的坐标.

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 6 页(共 15 页)

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷(北区)

九年级数学参考答案及评分标准 2012.1

二、填空题(本题共16分,每小题4分)

说明:第10题写成y (x 1)2

1不扣分;第11题每空各2分;第12题第(1)问2分, 第(2)问每空各1分.

三、解答题(本题共30分,每小题5分)

2 2 …………………………………………………3分 2. ……………………………………………………………………5分

=

13.解:原式=

14.解:(1) ( 2)2 4(2k 3) 8(2 k). ……………………………………………1分

∵ 该方程有两个不相等的实数根,

∴ 8(2 k)>0.……………………………………………………………… 2分 解得k 2.…………………………………………………………………… 3分 (2)当k为符合条件的最大整数时,k 1.…………………………………… 4分

此时方程化为x2 2x 1 0,方程的根为x1 1x2 15分

15. 解:(1)抛物线与x轴的交点的坐标为( 5,0) 和 (1,0). ………………………2分 抛物线与y轴的交点的坐标为(0, 5). …………………………………3分 (2)y x2 4x 5

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 7 页(共 15 页)

(x2 4x 4) 9…………………………………………………………4分

(x 2)2 9. …………………………………………………………5分 16.(1)证明:如图1.

∵ 四边形ABCD是菱形,

∴ AD∥BC. ∴ 1 2. …………………………2分 又∵ ∠B=∠AED, ∴ △ABE∽△DEA .…………………3分

(2)解:∵ △ABE∽△DEA ,

图1

AEAB

.…………………………………………………………………4分

DADE

∴ AE DE AB DA.

∵ 四边形ABCD是菱形,AB = 4, ∴ AB =DA = 4.

∴ AE DE AB2 16.………………………………………………………5分

17.解:(1)∵ 四边形ABCD是矩形,AB的长为x米, ∴ CD=AB=x(米).

∵ 矩形除AD边外的三边总长为36米,

∴ BC 36 2x(米).………………………………………………………1分 ∴ S x(36 2x) 2x2 36x. ……………………………………………3分 自变量x的取值范围是0 x 12. …………………………………………4分 (说明:由0 x 36 2x可得0 x 12.)

(2)∵S 2x2 36x 2(x 9)2 162,且x 9在0 x 12的范围内 ,

∴ 当x 9时,S取最大值.

即AB边的长为9米时,花圃的面积最大.…………………………………5分

18.解:(1)在Rt△ACD中, C 90 ,AD=10,sin

ADC

4

,(如图2) 4

8.……1分 53

CD AD. cos ADC 1 6

5

∴ AC AD sin ADC 10 ∵ DE垂直平分AB,

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 8 页(共 15 页)

∴ BD AD 10.……………………………………………………………2分 ∴ BC CD BD 16.………………………………………………………3分 在Rt△ABC中, C 90 ,

AC81

……………………………………………………4分 .

BC162

sin 1 cos

(2)tan .(写成也可) ……………………………………5分

21 cos sin

∴ tanB

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19.解:(1)第三个和第四个正方形的位置如图3所示.

…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P的坐标为(3,1).……3分 (2)点P(x,y)运动的曲线(0≤x≤4)如图3所示.

…………………………………………………4分

它与x轴所围成区域的面积等于 1. ……………………………………5分

20.解:(1)∵ 函数y x2 bx c(x≥0)满足当x =1时,y 1, 且当x = 0与x =4时的函数值相等,

1 b c 1,

∴ b

2. 2

解得 b 4,c 2.…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为y x2 4x 2(x≥0). …………………………3分 它的函数图象如图4所示.……………………………………………………4分

(2)k的取值范围是.(如图5)……………………………………………5分 21.(1)证明:连接OD.(如图6)

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 9 页(共 15 页)

∵ AD平分∠BAC,

∴ ∠1=∠2.…………………………………………………………………1分 ∵ OA=OD, ∴ ∠1=∠3. ∴ ∠2=∠3.

∴ OD∥AE.

∵ DE⊥AC, ∴ ∠AED=90°.

∴ ODE 180 AED 90 .…………2分 ∴ DE⊥OD. ∵ OD是⊙O的半径,

∴ DE是⊙O的切线.………………………3分

(2)解:作OG⊥AE于点G.(如图6) ∴ ∠OGE=90°.

∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°. ∴ 四边形OGED是矩形.

∴ OD=GE.……………………………………………………………………4分 在Rt△OAG中,∠OGA=90°,cos BAC ∴ GE=OD =5k. ∴ AE=AG+GE=9k. ∵ OD∥GE, ∴ △ODF∽△EAF. ∴

22.解:(1)∵ a2 a 2b 2c 0,a 2b 2c 3 0,

4

,设AG=4k,则OA=5k. 5

DFOD5

.……………………………………………………………5分 AFAE9

2b 2c a2 a,

2c 2b a 3.

消去b并整理,得 4c a2 3.……………1分

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 10 页(共 15

消去c并整理,得4b a2 2a 3. ………2分

(2)∵ 4b a2 2a 3 (a 3)(a 1) (a 1)2 4,

将4b看成a的函数,由函数4b (a 1)2 4的性质结合它的图象(如图7所示),以及a,b均为非负数得a≥3.

又 ∵ a<5,

∴ 3≤a<5.……………………………………………………………………3分 ∵ 4(b a) a2 6a 3 (a 3)2 12,

将4(b a)看成a的函数,由函数4(b a) (a 3)2 12的性质结合它的图象

(如图8所示)可知,当3≤a<5时,4(b a) 0. ∴ b<a. ……………………………………………4分

∵ 4(c a) a2 4a 3 (a 1)(a 3),a≥3, ∴ 4(c a)≥0.

∴ c≥a .

∴ b<a≤c. ………………………………………5分

阅卷说明:“b<a,b<c,a≤c”

得到第4分,全写对得到5分.

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.解:(1)令y 0,则 kx2 (k 2)x 2 0. 整理,得 (x 1)(kx 2) 0. 解得 x1 1,x2

2

. k

2k

2 kk2 4k 42

, ). ………3分 抛物线y kx (k 2)x 2的顶点坐标为(2k4k

∴ 该抛物线与x轴的交点坐标为( 1,0),(,0). ………………………2分

(2)|n|的最小值为 2 . …………………………………………………………4分

1k2 4k

).…………………………………5分 (3)平移后抛物线的顶点坐标为(,

k4k

1

x , 1 k

由 可得 y 1.

k4x y 1 4

1

∴ 所求新函数的解析式为y 1. …………………………………7分

4x

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 11 页(共 15 页)

24.解:(1)与△ABM相似的三角形是△,BM DN 2; ……………………2分

(2)由(1)△ABM∽△NDA可得

BMAB

.(如图9) ………………3分

DAND

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ AB=DC,DA= BC, ABC BCD ADC BAD 90 .

BMDC

BCND

∵ BM,DN分别平分正方形ABCD的两个外角, ∴ CBM NDC 45 .

∴ △BCM∽△DNC.…………………………………………………………4分

∴ BCM DNC.

∴ MCN 360 BCD BCM DCN

( DNC DCN) 270 (180 C DN 270).……… 5分

(3)线段BM,DN和MN之间的等量关系是222.

(只猜想答案不证明不给分)

证法一:如图9,将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF.则 △ABF≌△ADN. …………………………………………………6分

∴ 1 3,AF=AN,BF=DN, AFB AND. ∴ MAF 1 2 2 3 BAD MAN 45 . ∴ MAF MAN. 又∵ AM= AM, ∴ △AMF≌△AMN. ∴ MF=MN.

可得 MBF ( AFB 1) 45 ( AND 3) 45 90 . ∴ 在Rt△BMF中,BM2 BF2 FM2.

∴ BM2 DN2 MN2. …………………………………………7分 12 页(共 15

证法二:连接BD,作ME∥BD,与DN交于点E.(如图10)

可知 BDC 45 , BDN 90 .……………………………………6分 ∵ ME∥BD,

∴ MEN 180 BDN 90 . ∵ DBM DBC CBM 90 , ∴ 四边形BDEM是矩形. ∴ ME=BD,BM=DE.

在Rt△MEN中, MEN 90 ,

∴ MN2 ME2 EN2 BD2 (DN

DE)2

)2 (DN BM)2 2a2 (DN BM)2

2BM DN (DN BM)2 BM2 DN2.……………………7分

25.解:(1)图2中的m

.……………………………………………………………1分

(2)∵ 图11(原题图2)中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D(m,12),

∴ yE yD 12,此时原题图1中点P运动到与点B重合, ∵ 点B在x轴的正半轴上,

11

OB yC OB 3 12. 22

解得 OB 8,点B的坐标为(8,0). ………………………………………2分

∴ S BOC

此时作AM⊥OB于点M,CN⊥OB于点N.(如图12).

∵ 点C的坐标为C(n, 3), ∴ 点C在直线y 3上.

又由图11(原题图2)中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上,

∴ 点C是直线y 3与直线l的交点,且 ABM CON. 又∵ yA yC 3,即AM= CN,

可得△ABM≌△CON.

∴ ON=BM=6,点C的坐标为C(6, 3).……………………………………3分

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 13 页(共 15 页)

∵ 图12中

AB

∴ 图11

中DE

OF 2xD DE …………………4分

(3)①当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,作PG⊥OB于点G.

(如图13)

∵ O,B两点的坐标分别为O(0,0),B(8,0),

∴ 由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4,即OG=BG=4.

AM3PG

可得PG=2.

BM6BG

∴ 点P的坐标为P(4,2).………………5分 设抛物线W的解析式为y ax(x 8)(a≠0). ∵ 抛物线过点P(4,2),

∴ 4a(4 8) 2.

由tan ABM

解得 a .

∴ 抛物线W的解析式为y x2 x.

…………………………………6分

②如图14.

i)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱

形的边时,

∵ 点Q在直线y 1上方的抛物线W

上,点P为抛物线W的顶点,结合抛 物线的对称性可知点Q只有一种情况,

点Q与原点重合,其坐标为Q1(0,0).

……………………………………7分

ii)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,

可知BP的中点的坐标为(6,1),BP的中垂线的解析式为y 2x 11.

18

18

图13

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 14 页(共 15 页)

18

将该方程整理得 x2 8x 88 0.

解得x 4

∴ 点Q2的横坐标是方程 x2 x 2x 11的解.

由点Q在直线y 1上方的抛物线W上,结合图14可知点Q2的横坐标

为4.

∴ 点Q

2的坐标是Q219). …………………………8分 综上所述,符合题意的点Q的坐标是Q

1(0,0),Q219).

九年级期末 数学试卷(西城北区)第 15 页(共 15 页)

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