高三

- 1 - 天津市十二所重点学校2011年高三毕业班联考（一）

数学试题（理科）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分 钟。

第Ⅰ卷 选择题（共40分）

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡

规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+

柱体的体积公式.V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高。 锥体的体积公式1.3

V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．已知复数21212,32,z z i z i z z =+=+=

则在复平面内所对应的点位于

（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是

（ ） A ．11

(,)84 B ．11

(,)42 C ．1(,1)2

D ．（1，2） 3．下列命题中真命题的个数是

（ ）

①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”；

②若11|21|1,010x x x -><<<则或；

③*4,21x N x ∀∈+是奇数。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

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4．右图给出的是计算111124620

++++ 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（ ）

A ．20i >

B ．20i <

C ．10i <

D ．10i >

5．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图

所示，则()y f x =的图象可由函数()sin g x x =的图象（纵

坐标不变） （ ）

A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位

B ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12

π个单位 C ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6

π个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6

π个单位 6．已知函数2

||log |11()2||,()()2x f x x f x f x =-->则不等式的解集等于

（ ） A ．11

(,)(3,)42+∞ B ．1(,3)4 C ．1

(,)(2,)2-∞+∞ D ．1(,2)2

7．已知双曲线22

22:1(0)x y C a b a b

-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线2

4y cx =的准线被双曲线C

截得的弦长为2(e 为双曲线C 的离心率），则e 的值为 （ ） A

B

C ．3

32或 D

8．已知方程(1)(||2)4y x ++=，若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使

方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

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第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

二、填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷中相应的横线上。

9．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间

后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为 。

10．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 。

11．在平面直角坐标下，曲线122:()x t a C t y t

=+⎧⎨=-⎩为参数，

曲线22cos :()12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩

为参数，若曲线C 1、C 2 有公共点，则实数a 的取值范围为 。

12．已知{}n n S a n 是数列的前项和，向量

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(1,2),(4,),n n S a a b S a b S =--=⊥ 满足则= 。 13．如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，

过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，

AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 。

14．若自然数n 使得作加法(1)(2)n n n ++++运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，

例如：32是“给力数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23+24+25产生进位现象，设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则用集合A 中的数字可组成无重复数字的三位偶数的个数为 。

三、解答题：本大题6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

已知函数2()2sin (0)2x

f x x ωωω=->的最小正周期为3π。

（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；

（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A ，B ，C

所对的边，且2a b c csinA <<=；求

角C 的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若311(),cos 2213

f A B π+=求的值。

16．（本小题满分13分）

某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期

五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相

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- 4 - 同）；

（I ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率； （II ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为

45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35

；若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列和期望。

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱柱ABCD —PGFE 中，侧棱垂直于底面，底面ABCD 是直角梯形，AB//DC ，

45,1,2, 1.ABC DC AB PA ∠=︒===

（Ⅰ）求PD 与BC 所成角 的大小；

（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）求二面角A —PC —D 的大小。

18．（本小题满分13分）

已知函数2()ln ,.f x x ax x a R =+-∈

（I ）若a=0时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程；

（II ）若函数()f x 在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；

（III ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()

g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>

E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△P

F 1F 2

的周长为4+

（I ）求椭圆的方程；

（II ）设C ，D 是椭圆E 上两不同点，CD//AB ，直线CD 与x 轴、

y 轴分别交于M ，N 两点，且,,MC CN MD DN λμλμ==+ 求

的取值范围。

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20．（本小题满分14分）

已知函数()f x 的图象经过点(1,)λ，且对任意x R ∈，都有

()(){}n a x f x f 数列.21+=+满足112,2,2(),n n n n a a f a n λ+⎧⎪=-=⎨⎪⎩

为奇数为偶数 （I ）求*()()f n n N ∈的表达式；

（II ）设12323,;n a a a a λ=++++ 求

（III ）若对任意*112,n n n n n N a a a a +++∈<总有，求实数λ的取值范围。