2012届高三数学（理）模拟试卷（009）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1

）

A B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限

2、在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将

零件编号为00，01，02， ，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个。则（ ）

A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是

1

5

1

，③并非如此 51

C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此

5

D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同

3、曲线y

ax

在x 1处的切线方程为2x y b 0，则（ ） x 2

A．a 1,b 1 B．a 1,b 1 C．a 1,b 3 D．a 1,b 2

4、设0＜x＜

2

1"是"xsinx＜1"成立的 ） ，则"xsinx＜

2

A．充分不必要 B．充分必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

5、已知一个棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为（ ）

11A. B.

D.

631

6、若a,b,c均为单位向量，且a b ，c xa yb(x,y R)，则x y的最大值是( )

2

A．2 B. C D. 1

x2y222

7、已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线均和圆C:x y 6x 5 0相切,则该双曲线离心率等于

ab

3365

（ ）A. B. C. D.

2525

1

1

8、如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0曲线y x经过点B则质点落在图中阴影区域的概率是（ A．

512 B． C．12239、若方程(x 2cos )2 (y 2sin )2 1(0不等式x y，则 的取值范围是（ 5 5 13

] B.[,] C.[ A.[,441212410、已知f(x)是定义在(0, )log2x] 3，则方程

f(x) f'(x) 2的解所在的区间是（ ）

11

A．（0，） B．（,1） C．（1，2） D．（2，3）

22

二、填空填（本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）

11、

因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．参考公式:

bx a， 回归直线的方程是：y

其中 b

(x

i 1

n3

n

i

)(yi )

i

(x

i 1

,a b；其中yi是与xi对应的回归估计值.

)2

) 18， (xi )(yi ) 18.

2

i 13

参考数据：

5

3

(x

i 1

i

12、(1 2x)(3x 1)的展开式中除x项外的其他项系数之和为

3

x my n

13、已知点A，过点A的直线l:x my n(n 0),若可行域 x 0的外接圆直径为20，则实数n的

y 0

值是

14、若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）已知函数 f（x）

2 x 2xx 0= 2，则f（x）的“姊妹点对”有 个。

x 0

ex

三．选做题（共5分，只能从下面两小题中选做一题，两题全做的，只计第一小题得分） 15．①在极坐标系中，点A(2,

3

)到直线l： cos(

6

2

) 1的距离为4xy

对任意正实数x、y恒成立，则实数k的取值范围3k

②(不等式选讲选做题) 若不等式( y) ( y)

x9

2

x9

是 ．

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

16、已知在 ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量

m (sinA sinC,sinB sinA),n (sinA sinC,sinB)，且m n，

（1）求角C的大小；

22

（2）若a b

12

c，试求sin(A B)的值。 2

17．将编号为1，2，3的三个小球随意放入编号为1，2，3的三个纸箱中，每个纸箱内有且只有一个小球，称此为一

轮“放球”，设一轮“放球”后编号为i（i=1，2，3）的纸箱放入的小球编号为ai，定义吻合度误差为 =|1－a1|+|2－a2|+|3－a3|。假设a1，a2，a3等可能地为1、2、3的各种排列，求⑴某人一轮“放球”满足 =2时的概率。⑵ 的数学期望。

2

18、设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn 2Sn anSn 1 0,n 1,2,3, . （1）求a1,a2,a3； （2）求Sn的表达式．

19、如图已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC， BAC ACD 90 ， EAC 60 ，

AB AC AE．

（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP//平面EAB？请证明你的结论；

（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角 的余弦值。

，平行于OM直线 在y轴20、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1）

上的截距为m(m 0)，设直线 交椭圆于两个不同点A、B，

（1）求椭圆方程；

（2）求证：对任意的m的允许值， ABM的内心在定直线x 2上

21、已知函数f(x)

323

． ax，g (x) =－6x + ln x（a≠0）

2

（1）若函数h (x) = f (x)－g (x) 有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a＞0，使得方程g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x 无实数解？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．

2012届高三数学模拟试卷（理）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题 （本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 185 12. -745 13． 14. 2 15．(1) （2）[2,+?

)

三、解答题：（本大题共5小题，共60分。请在答卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤) 16.解：（1）由题意得：m n (sin2A sin2C) (sin2B sinAsinB) 0

222

即sinC sinA sinB sinAsinB，由正弦定理得c a b ab，

222

a2 b2 c21

C 0 C C 6分 再由余弦定理得 cos

32ab2

22

（2）方法一： a b

1213c， sin2A sin2B sin2C，即sin2A sin2B 228

从而

1 cos2A1 cos2B33

即cos2B cos2A 2284

A B

即 cos(

3

cos(4 2A) cos2A 3

3

4

3

2A) cos2A

3

，

4

从而sin(2A

3

) sin(A B) sin[A (

= sin(2A

2 2 2 A] sin(2A ) sin(2A )

333

3

)

12分 方法二：设R为 ABC外接圆半径，

222222

aa c bbb c a

sin(A B) 2R2ac2R2bc

2(a2 b2)c2c1 sinC =4Rc4Rc4R217、解：⑴ 的所有可能结果如下：

纸箱编号

1 1 1

2 2 3

3 3 2

0 2

小球号

纸箱编号

1 3 3

2 1 2

3 2 1

4 4

小球号

⑵ 的分布列为

P

0 2 4

22

18、解：（1）当n 1时，由已知得a1 2a1 a1 1 0,解得a1

1

. 2

同理，可解得a2

11

. a3 5分 612

2

（2）解法一：由题设Sn 2Sn 1 anSn 0当n 2(n N*)时,an Sn Sn 1

代入上式，得Sn 1Sn 2Sn 1 0. （*） 6分 由（1）可得S1 a1 由此猜想：Sn

31112

,S2 a1 a2 .由（*）式可得S3 .

42263

n

(n N*) 8分 n 1

证明：①当n 1时，结论成立．②假设当n k(k N*)时结论成立， 即Sk

1k 1k1

. ,那么，由（*）得Sk 1 , Sk 1

kk 2k 12 Sk

2

k 1

所以当n k 1时结论也成立，根据①和②可知，

Sn

nn对所有正整数n都成立．因Sn 12分 n 1n 1

2

解法二：由题设Sn 2Sn 1 anSn 0.当n 2(n N*)时,an Sn Sn 1

代入上式，得Sn 1Sn 2Sn 1 0.

Sn

1 Sn 111

, Sn 1 1

2 Sn 12 Sn 12 Sn 1

2 Sn 111 1 , Sn 1Sn 1 1Sn 1 1

11

} 2,公差为-1的等差数列， Sn 1S1 1

{

1n1

1 12分 2 (n 1) ( 1) n 1. Sn n 1n 1Sn 1

（1）线段BC的中点就是满足条件的点P． 1分 19、 解：

证明如下：

取AB的中点F连结DP、PF、EF，则

FP//AC，FP

1

AC， 2分 2

取AC的中点M，连结EM、EC， ∵AE AC且 EAC 60 ， ∴△EAC是正三角形，∴EM AC． ∴四边形EMCD为矩形，∴ED MC

1

AC．又∵ED//AC， 3分 2

∴ED//FP且ED FP，四边形EFPD是平行四边形． 4分

∴DP//EF，而EF 平面EAB，DP 平面EAB，∴DP//平面EAB．

（2）（法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG，∵ED//AC，∴ED//l，

l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱． 8分

∵平面EAC 平面ABC，DC AC，∴DC 平面ABC， 又∵l 平面ABC， DC l,∴l 平面DGC，∴l DG，

∴ DGC是所求二面角的平面角． 10分 设AB AC AE 2a，则CD ∴GD GC CD 7a， ∴cos cos DGC

2

2

ED

3a，GC 2a，

M

C

GC2． 12分

GD7

B

（法2）∵ BAC 90 ，平面EACD 平面ABC，

∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A xyz，则z轴在平面EACD内（如图）．设AB AC AE 2a，由已知，得B(2a,0,0)，E(0,a,

3a)，D(0,2a,3a)．

∴ (2a, a, a)， (0,a,0)， 8分

设平面EBD的法向量为

n (x,y,z)， 则 n EB 且 n ED ， ∴ n EB 0, 2 x ax ay az 0,z, n ED 0.∴ ay 0.解之得 2 y 0.

取

z 2，得平面EBD的一个法向量

为

n ,0,2). 10分

又∵平面ABC的一个法向量为 n

(0,0,1)． 11分

cos cos n ,

n

． 12分 x2y2

20．解：（1）设椭圆方程为a2 b

2 1(a b 0)

则

a 2b

4 a2 8x2y2 a2

1 1 2

所以椭圆方程为 1 5分 b

2 b 282（2）如图，因为直线 平行于OM，且在y轴上的截距为m，又K12，所以，直线 的方程为y 1

OM

2

x m，

y 1 2x m x2 2mx 2m2

x2y2

4 0， 8

2 1设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 x2 2m,x1x2 2m2

4， 8分

由

设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则k1

y1 1y 1

，k2 2 x1 2x2 2

故k1 k2

y1 1y2 1(y1 1)(x2 2) (y2 1)(x1 2)

=

x1 2x2 2(x1 2)(x2 2)

11

(x1 m 1)(x2 2) (x2 m 1)(x1 2)

xx (m 2)(x1 x1) 4(m 1)=12

(x1 2)(x2 2)(x1 2)(x2 2)

2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1)

0 12分

(x1 2)(x2 2)

故k1 k2=0， 所以， ABM的角平分线MI垂直x轴，因此，内心的横坐标等于点M的横坐标，则对任意的

m的允许值， ABM的内心在定直线 x 2上 13分

32

， 21、解: （1）∵ h (x) = f (x)－g (x) =ax+ 6x－3 ln x（x＞0）

2

3

h (x) 3ax 6 ．

x

33(ax2 2x 1)

∵ 函数h (x) 有两个极值点，∴ 方程h (x) 3ax 6 0，

xx

22 4a 0, 2

即ax + 2x－1 = 0应有两个不同的正数根，于是 x x 2 0, －1＜a＜0．

12

a

1

xx 0,12 a

6分

（2）方程 g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax2－3（2a + 1）x， 等价于方程 ax2 +（1－2a）x－ln x = 0．

设 H（x）= ax2 +（1－2a）x－ln x，转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H（x）图象与x轴有无交点的问题）．

12ax2 (1 2a)x 1(2ax 1)(x 1)

∵ H ′(x) = 2ax +（1－2a）－ ，

xxx

且a＞0，x＞0，则当x∈（0，1）时，H ′(x)＜0，H（x）是减函数； 当x∈（1，+∞）时，H ′(x)＞0，H（x）是增函数． 因为 x 0（或者x +∞）时，H（x） +∞， ∴ 要使H（x）图象与x轴有无交点，只需

H（x）min = H（1）= a +（1－2a）= 1－a＞0，结合a＞0得 0＜a＜1，为所求． 14分