北京航空航天大学 数学与系统科学学院

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朱立永

解析几何的主要内容 §1 向量及其线性运算§2 向量的内积、外积、混合积 §3 曲面及其方程 §4 空间曲线及其方程 §5 平面及其方程 §6 空间直线方程

前面内容小结设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘:

a b (a x bx , a y by , a z bz )

a ( a x , a y , a z )

点积(数量): a b a x bx a y by a z bz

i j k 叉积(向量): a b a x a y a z

bx b y bz

ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz a b 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0

a , b , c 共面

( a b ) c 0ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz

第五节 平面及其方程一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程

三、两平面的夹角

一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且垂直于非零向量 n ( A , B , C ) , 求该平面 的方程.

z M

任取点 M ( x, y, z ) , 则有M 0M n

nM0

故

M 0M n 0

o x

y

A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0

** ①

称①式为平面 的点法式方程,称 n 为平面 的法向量.

例1 求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为

nM1 M3 M2

n M 1M 2 M 1M 3i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)

又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程即

说明: 此平面的三点式方程也可写成

x 2 y 1 z 4

3 2的平面方程为

4 3

6 0 1

一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)

*

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c

此式称为平面的截距式方程. **分析:利用三点式

x a a

y b

z 0 0

a 0 c 按第一行展开得 ( x a)bc y ( a)c zab 0 bcx acy abz abc 即

用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.例 2 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P ( a ,0,0) 、

Q (0, b,0) 、R(0,0, c )(其中 a 0 ,b 0 ,c 0 ) ,求此平面方程.

解

设平面为 Ax By Cz D 0,

aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c

例 3 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0而与三个坐 标面所围成的四面体体积为 1 的平面方程.

x y z 解 设平面为 1, a b c 1 1 V 1, abc 1, 3 21

z

o

y

x

由所求平面与已知平面平行得

a b c , (向量平行的

充要条件) 6 1 6

1

1

1 1 1 1 1 1 , 令 t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 a , b , c , 6t 6t t 1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6t 6代入体积式

a 1,

b 6,

c 1,

所求平面方程为 6 x y 6 z 6.

二、平面的一般方程设有三元一次方程

A x B y C z D 0 ( A2 B 2 C 2 0 ) ②**任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则

A x0 B y0 C z0 D 0以上两式相减 , 得平面的点法式方程

显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.

Ax By Cz D 0 ( A B C 0 )2 2 2

特殊情形** 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量

n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.

例4 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0

设所求平面方程为

By Cz 0代入已知点 (4 , 3 , 1) 得化简,得所求平面方程

三、两平面的夹角两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为

n1

n2

2

即

n1 n2 cos n1 n2

1

cos

A1 A2 B1B2 C1C22 A1

2 B1

2 C1

A2 B2 C2

2

2

2

*