2012中考试题汇编分类19_锐角三角函数及解直角三角形

2012年全国各地中考数学解析汇编19

锐角三角函数及解直角三角形

29.1 锐角三角函数以及特殊角

（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A.

1

D.1

2

【解析】sin45°

【答案】B

【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为

A．

图4

1

2

B

C

D

【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝

CDAC

图4 【答案】B

【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．

29.2 三角函数的有关计算

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A．200米

B.

C.

D. 1)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tanA AB=AD+DB=答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

20

( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=90,AB=6,cosB= ,则BC的长为

3

1313

（A）4 (B)21313

BC2

【解析】由三角函数余弦的定义cosB= ，又∵AB=6∴BC=4,故选A

AB3【答案】

A

【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.

C 8题图

B

A

CDCD

，又CD=100，因此

,tanB

ADDB

CDCD100100

100。 tanAtanBtan300tan450

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）

解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有设BC=x，则DC=1-x，因此

BCDC

，

ACBC

x1 x ,即x2 x 1 0，解方程得，

1x

x1

111

,x2 （不合题意，舍去），即

AD=；

222

AB

又

cosA=

AD

点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。 【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出

于是BF=

+1）x.在直

角三角形ABF中，tan∠

FAB=

BF

+1=tan67.5°.选B。 AB【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE，EF BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ） （A）1组

（B）2组

（C）3组

（D）4组

【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB

求出A、B

两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=

xxDEBD

，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则，

tan∠ACBtan∠ADBEFAB

可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C． 【答案】C．

【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．

（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记作ctan , 即ctan =解下列问题：

（1）ctan30 = ； （2）如图，已知tanA=

角 的邻边AC

，根据上述角的余切定义，

角 的对边BC

3

，其中∠A为锐角，试求ctanA 4

的值．

【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30

（2）由tanA=的值．

【解析】（1）设BC=1, ∵α=30 ∴AB=2

∴由勾股定理得：AC=

。

3

为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 4，

AC

=3 BC3

(2) ∵tanA=

4

ctan30 =

∴设BC=3 AC=4 ∴ctanA=

AC4