第七章 课后习题

（一）思考题

略

（二）填空题

1. 参数估计有两种形式：一是 _ ，二是 _ 。 2. 判别点估计优良性的三个准则是： 、 和 。 3．抽样的允许误差是指的最大绝对误差范围。

4．对于简单随机重复抽样，若其他条件不变，则当允许误差Δ缩小一半，抽样单位数必须为原来的 倍。若Δ扩大一倍，则抽样单位数为原来的 。

5．如果总体平均数落在区间960～1040内的概率是95%，允许误差是 ，抽样平均误差是 。

6．在同样的精度要求下，不放回抽样比放回抽样需要的样本容量

7．置信区间表达了区间估计的精确性，置信概率表达了区间估计的可靠性它是区间估计的可靠概率；而 表达了区间估计的不可靠的概率。

8．影响必要样本容量的因素有总体方差、 和可靠程度等。

参考答案：

1．点估计；区间估计 2．一致性；无偏性；有效性 3．样本估计值；总体参数 4．4；1/4 5. 1000；40；20.41 6. 少 7. 显著性水平 8. 允许误差

（三）判断题

1．抽样误差是抽样调查中无法避免的误差。（ ） 2. 抽样误差的产生是由于破坏了随机原则所造成的。（ ）

3. 在其他条件不变的情况下，抽样平均误差要减少为原来的1/3，则样本容量必须增大到9倍。（ ）

4. 抽样允许误差就是抽样平均数的标准差。（ ）

参考答案：

1．(√) 2. (×) 3. (√ ) 4.(√)

（四）单项选择题

1. 在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量

A．增加9倍 B.增加8倍 C.为原来的2.25倍 D.增加2.25倍 2. 比例和比例方差的关系是（ ）

A.比例越接近于0，比例方差越大 B.比例越接近于1，比例方差越大 C.比例越接近于0.5，比例方差越大 D.比例越接近于0.25，比例方差越大

3. 对400名大学生抽取19%进行不放回抽样调查，其中优等生比重为20%，概率保证程度为95.45%，则优等生比重的允许误差为（ ）

A. 4% B. 4.13% C. 9.18% D. 8.26% 4. 区间估计表明的是一个

A.绝对可靠的范围 B.可能的范围 C.绝对不可靠的范围 D.不可能的范围 5 无偏性是指

A.抽样指标的平均数等于被估计的总体指标

B.当样本容量n充分大时，样本指标充分靠近总体指标

C.随着n的无限增大，样本指标与未知的总体指标之间的离差任意小的可能性趋于

实际必然性

D.作为估计量的方差比其他估计量的方差小 6 样本统计量和总体参数

A.前者是一个确定值，后者是随机变量 B.前者是随机变量，后者是一个确定值

C.两者都是随机变量 D.两者都是确定值 7. 若甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称

A.甲是无偏估计量 B.乙是一致估计量 C.乙比甲有效 D.甲比乙有效

8. 某厂要对某批产品进行抽样调查，已知以往的产品合格率分别为90%，93%，95%，要求误差范围小于5%，可靠性为95.45%，则必要样本容量应为

A.144 B.105 C.76 D.109

参考答案：1.C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A （五）计算题

1．某地区粮食播种面积共5000亩，按不重复抽样方法随机抽取了100亩进行实测。调查结果，平均亩产为450公斤，亩产量的标准差为52公斤。试以95%的置信度估计该地区粮食平均亩产量的区间。

解“由题意知N 5000,n 100 30，X 450千克，S 52千克，1 95%， 则

nN

100% 2% 5%, 0.05,X近似服从正态分布，。

因此

X Z 2

450 1.96

450 101.92

439.808

X Z 2

450 1.96 450 101.92 460.192

所以该地区粮食平均亩产量的95%的置信区间为[439.808,460.192].

2．某地对上年栽种一批树苗共3000株进行了抽样调查，随机抽查的200株树苗中有170株成活。试以95.45%的概率估计该批树苗的成活率的置信区间和成活总数的置信区间。 解：由题意知N 3000,n 200,PS

170200

0.85,1 95.45%，

则nPS 200 0.85 170 5,n(1 PS) 200 0.15 30 5, 0.0455，PS近似服从正态分布，因此，

PS Z 2

nN

100%

2003000

6.7% 5%。

0.85 2 0.85 0.05 0.80

PS Z 2

0.85 2 0.85 0.05 0.90

所以，该树苗的成活率P的置信水平为95.45%的置信区间为[0.80,0.90]，而树苗的成活数

NP总数的置信区间为[3000 0.80,3000 0.90] =[2400,2700].

3．某公司有职工3000人，现从中随机抽取60人调查其工资收入情况，得到有关资料如下：

（1）试以0.95的置信度估计该公司工人的月平均工资所在范围； （2）试以0.9545的置信度估计月收入在1000元及以上工人所占比重。 解；

（1）由题意知，N 3000,n 60

30,1 0.95，则 0.5，X近似服从正态分布。

8

8

ii

nN

603000

100% 2% 5%，

wx

又因为，X

i 1

8

wx

i

i

wi

i 1

i 1

60

6230060

1038.33

S

166.05

X Z 2

1038.33 1.96

1038.33 42.16 996.17

X Z 2

1038.33 1.96 1038.33 42.16 1080.49

即该公司职工平均工资的置信水平95%的置信区间为[996.17,1080.49]. （2）因为1 0.9545， 0.0455，PS

10 9 8 7 4

60

0.63

，

nPS 60 0.63 38 5，n(1 P)S 60 (1 0.64) 22 5

则有Z Z0.0455 2。

2

2

因此，PS Z 2

0.64 2

0.509

PS Z 2

0.64 2

0.758

所以月收入在1000元及以上的工人所占比重置信水平0.9545的置信区间为[0.509,0.78].

4．对一批产品按不重复抽样方法抽选200件，其中废品8件。又知道抽样总体是成品总量

的1/20，当概率为95.45%时，可否认为这一批成品的废品率低于5%。 解：由题意知，n 200，PS 准差进行修正。

因为，nPS 8 5,n(1 PS) 192 5，则PS近似服从正态分布。 又因为，1 95.45%，则Z 2，

2

8200

0.04，

nN

120

100% 5%,则需要样本比例的标

N nN

1

1

nN

1

120

1920

0.95

PS Z 2

0.04 2

0.04 2 0.04 0.027 0.013

PS Z 2

0.04 0.027 0.067

P的置信水平为95.45%的置信区间为[1.3%，6.7%]，这个置信区间内包含5%，这就不能说

明，这批成品的废品率低于5%。须进一步做单侧检验。

5．某企业从长期实践得知，其产品直径X是一随机变量，服从方差为0.05的正态分布。从

某日产品中随机抽取6个，测得其直径分别为14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（单位：厘米）。在0.95的置信度下，试求该产品直径的均值的置信区间。 解，有题意知，X～N( , )，

2

2

0.05，n 6 ，1 0.95

6

x

则X～N（u，0.05），Z 1.96，X

2

i

1

i

6

906

15

X t1

2

(n 1)

15

2.571

15 0.052

14.94

X t1

2

(n 1)

15 2.571 15 0.052 15.05

所以该产品平均直径的95%的置信区间为[14.94,15.05].

（14.82108059，15.17891941）

6．某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取样品200只，样本优质品率为

85%，试计算当把握程度为95%时优质品率的区间范围。

解，PS 85%,nPS 200 0.85 170 5,n(1 PS) 200 0.15 30 5，1 95% 则PS近似服从正态分布，Z

1.96

2

PS Z

2

0.85 1.96

0.85 0.05

0.8

PS Z 2

0.85 1.96 0.85 0.05 0.9

所以，置信水平为95%的优质品率的置信区间[0.801，0.899]。

80.1% - 89.9%

7．检验某食品厂本月生产的10 000袋产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45%的概率保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过5克，应抽查多少袋产品。

解：N 10000, 25,1 95.45%, X 5，则根据公式7-13得：

Z N

n

22

2

XN Z

2

22

2 25 100005 10000 2 25

2

2

22

99.5

所以，应该查100袋产品。

8．某企业对一批产品进行质量检验，这批产品的总数为5 000件，过去几次同类调查所得

的产品合格率为93%、95%和96%，为了使合格率的允许误差不超过3%，在99.73%的

概率下应抽查多少件产品。

解：由题意得，N 5000，1 99.73%, X 3%，当P 93%时保证P(1 P)最大，

Z 3

2

依据公式7-14，

Z p(1 p)n

22

P

2

3 0.93 (1 0.93)

0.03

2

2

651

所以在99.73的概率下应该抽取651件产品。 9. 设年末某银行抽取100户的资料如下：

试以95.45%（t=2）的概率，估计以下指标的范围： （1） 该储蓄所存款户平均每户的存款余额；

（2）该所储蓄存款余额在30 000元以上的户数占全部存款户数的比重。 解

5

wx

i

i

X

i 15

i

35200100

352

w

i 1

（1）（310.7563782，393.4836218） （2）（48.13%，67.87%）

10. 某市人口普查显示，该市老年人口老龄化（

65岁以上）比率为14.7%。随机调查了400

名当地市民，发现有57人年龄在65岁以上。那么调查结果是否支持该市老龄化率为14.7%的看法？（α=0.05）

解1：P0=14.7%，n=400，Ps=57/400=0.1425，

nPs=57>5，n（1-Ps）=400×(1-0.1425）343>5，则PS近似服从正态分布。 又因为，α=0.05，Z0.025=1.96， PS Z 2

0.64 2

0.509

=0.1425-1.96×（0.1425×

（1-0.1425））^0.5

14.7%在（0.108243,0.176757）的范围内，所以，支持该市老龄化率为14.7%的看法。

解2：Ho：P=0.147；H1：P=/0.147 检验统计量Z=0.25746<Z0.025=1.96

所以接受原假设，即支持该市老龄化率为14.7%的看法。

解3：调查结果是否支持该市老龄化率大于14.7%的看法？（α=0.05） Ho：P<=0.147；H1：P>0.147

检验统计量Z=0.25746<Z0.05=1.64

所以接受原假设，即不支持该市老龄化率大于14.7%的看法。