概率论与数理统计模拟考试题目及答案

概率论与数理统计复习题（一）

一．填空

1.P(A) 0.4,P(B) 0.3。若A与B独立，则P(A B) ；若已知A,B中至少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A B) 。 2．p(AB) p(AB)且P(A) 0.2，则P(B) 。

3．设X~N( , 2)，且P{X 2} P{X 2}, P{2 X 4} 0.3，则 ；

P{X 0}

4．E(X) D(X) 1。若X服从泊松分布，则P{X 0} ；若X服从均匀分布，则P{X 0} 。

5．设X~b(n,p),E(X) 2.4,D(X) 1.44，则P{X n}

6．E(X) E(Y) 0,D(X) D(Y) 2,E(XY) 1,则D(X 2Y 1) 。 7．X~N(0,9),Y~N(1,16)，且X与Y独立，则P{ 2 X Y 1} （用 表示）， XY 。

8．已知X的期望为5，而均方差为2，估计P{2 X 8} 。

9．设 1和 2均是未知参数 的无偏估计量，且E( 12) E( 22)，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 kx, 0 x c,2四．X 的概率密度为f(x) 且E(X)=。（1）求常数k和c；(2) 求X

30, 其它

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

的分布函数F(x)；

五．（X,Y）的概率密度f(x,y)

X与Y是否独立；（3） XY；

六．.设X，Y独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将

其余概率值填入表中空白处.

kx(2 y), 2 x 4,0 y 2 0, otherwise

。求 （1）常数k；（2）

七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.

概率与数理统计复习题（一） 一、填空

1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3

P(A)=0.4

分析: P(B)=0.3

A,B独立

P(AB)=P(A)*P(B)=0.12

P(AB)=0.28

P(AB)+P(AB)=P(A)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AB) 0.1

P(AB) 0.3 P(A) 0.4 P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3

2.P(B) 0.8

分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B)

1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(AB)

1 P(A) P(B) 0

P(B) 0.8

P(A) 0.2

3. 2　　P ｘ>0 0.8

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

分析:P ｘ<2 P x 2 P x 2 1 P x 2 2P x 2 1

2 2 　　　P ｘ<2 0.5 F(2) 0.5 0.5 0 2

　P x>0 1 P x 0 1 F(0) 1

P x 0 0.8

4 22 22 P 2 x 4 0.3 F(4) F(2) 0.3 0.3 0.8

0 2 2 2

1

1e

　　P x 0 =1

4.P x 0 1

1 1

Px k e P x=k e

k!分析:　　a. x服从泊松分布,则 k!

P x 0 1 P x 0 Ex Dx 1 1

k

P x 0 1

1e

ｂ.x服从均匀分布,属连续分布,则P x=0 0 P x 0 1 P x 0 1 5.P x n 0.4

6

n 6　　p=0.4

分析:　　　x~b(n,p) Dx np(1-p) nnn-nn

x~b(n,p) P x=n Cnpq p

E(x)=2.4 D(x)=1.44

Ex np

P x n 0.4

6

6.D(x 2y 1) 6

分析:　　D(x 2y 1) D(x 2y) Dx D(2y) cov(x, 2y) Dx 4Dy 2cov(x,y) Dx 4Dy-2(Exy-ExEy)

　　　　　 D(x 2y 1) 6

E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1

1

7.P 2 x y 1 () 0.5　　　　　Pxy 0

5

2

x-y~N(-1,5)　 E(x y) Ex Ey 0 1 1

分析:y~N(1,16)

P -2<x-y<-1 F( 1) F( 2) D(x y) Dx Dy 9 16 25

x,y相互独立

x~N(0,9)

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

P

-2<x-y<-1 = (

-1-(-1)

5

)- (

-2-(-1)

5

)= (0)- (-

15

)= (

15

)-0.5

x,y相互独立 cov(x,y)=0

xy=0 　

xy=

8.P 2<x<8

79

P x-Ex 1

Dx

27

x 5 3 P x 5 3 1 2

39

2

分析:由切比雪夫不等式 Ex=5 P 2<x<8 P

Dx 2

^

9. 2

^

^

^

^

1与 2均是未知参数的无偏估计 E( 2) E( 2) E

^

^

分析:

D( 1) E( 1) (E 1) E( 1) D( 1) E( 1)

^

^

2

^

2

^

2

^

^

2

^

2

^

2

^^

2

D( 2) E( 2) (E 2) E( 2) D( 2) E( 2)

^

^

　　　　　　　　　　　　　　　　E( 1) E( 2)

^^^

D( 1) D( 2) 2更有效

10.高,小,变大

二.解:A1:甲河流泛滥　　　　A2:乙河流泛滥　　　B:某地区受灾

P(A1)=0.1 (1) P(B) 0.1 0.2 0.03 0.27

P(A2)=0.2 P(AA) 0.03 12

A2P(A1A2)

P()=0.3 0.3 A1P(A1)

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)

(2)P(

A1A2

)

P(A1A2)P(A2)

0.030.2

0.15

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

三.解:设Ai 敌机中了弹　　　　B 敌机被击落P(BA1

) 0.2,P(

3

BA2

) 0.6,P(BAi)

3

BA3

) 1

i

i

3 i

P(B)

i 1

P(Ai)*P(

)

i 1

C3*(0.3)(0.7)

*P(

BAi

) 0.2286

P(

A2B

P(A2)*P()

P(B)

BA2

0.496

四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有

①

0f(x) 1 c2

x f(x) 3 0

c

0kxdx 1

c22

kxdx 即 3 0

f(x)

c

2

c 1

k 2

②由①知x的密度函数为当x 0时 F x 0； 当0

x 1

x

2x0 x 10其他

时 F x

x

f t dt

1

2tdt x

当x 1时 F x

x

f t dt

2xdx 1

F

x

x 0 0

2

x x 1

1x 1

4

2

五、由（x、y）联合密度的性质有： ①．

x,y dxdy

1 即

2

kx 2 y dxdy 1 k

136

1

x 2 y 2 x 4,,0 y 2

②． 由①可求出（x，y）的联合密度：f x,y 36

其他 0

fX x fY y

f x,y dy f x,y dx

2

136

x 2 y dy x 2 y dx

1616

x 0 y 2

4

136

2

2 y 2 x 4

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

fX

10 y 2

fY x 6x

其他 0

y

1

6

2 y

2 x 4其他

f x,y fX x fY y 故x, y 相互独立。

③． 由②知 x,y 相互独立。六、略

xy 0

七、解：令x为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N（60，59.64） 设A：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A：10000*12-1000x 60000 x 60

60 60

P A P{x 60} 0 60 0

59.64

0 0 0.5

该保险公司一年的利润不少于60000元的概率为0.5

概率论与数理统计复习题（二）

本复习题中可能用到的分位数：

t0.95(8) 1.8595，t0.95(9) 1.8331，t0.975(8) 2.306，t0.975(9) 2.2662。 一、填空题（本题满分15分，每小题3分）

1、设事件A,B互不相容，且P(A) p,P(B) q,则P(AB) 。 x 1 0

0.3 1 x 1

2、设随机变量X的分布函数为：F(x)

0.61 x 2 1x 2

则随机变量X的分布列为 。

3、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,2)和N(0,1)，则

P(X Y 1)。

4、若随机变量X服从[ 1,b]上的均匀分布，且有切比雪夫不等式P(X 1 )

b 。

23

,则

二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

1、设P(AB) 0,则有（ ）。

(A) A和B互不相容； (B) A和B相互独立； (C) P(A) 0或P(B) 0； (D) P(A B) P(A)。

2、设离散型随机变量X的分布律为：P(X k) b k(k 1,2 ),且b 0，则 为（ ）。 (A)

1b 1

；(B)

1b 1

；(C) b 1；(D) 大于零的任意实数。

3、设随机变量X和Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X Y)=（ ）。 (A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。

2

(n)，t (n)，F (n1,n2)分别是N(0,1)，4、对于给定的正数 ，0 1，设u ，

2

的是（ ） (n)，t(n)，F(n1,n2)分布的下 分位数，则下面结论中不正确．．．

22

（A）u u1 ； （B） 1 (n) (n)；

（C）t (n) t1 (n)； （D）F1 (n1,n2)

1F (n2,n1)

5、设(X1,X2, ,Xn)(n 3)为来自总体X的一简单随机样本，则下列估计量中不是总．．体期望 的无偏估计量有（ ）。

(A)X； (B)X1 X2 Xn； (C)0.1 (6X1 4X2)； (D)X1 X2 X3。

三、（本题满分12分）

人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%，根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。 四、（本题满分12分）

x 1 设随机变量X

的分布密度函数为f(x)

0, x 1

试求：

（1）常数A；

（2）X落在(

11

,)内的概率； 22

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

（3）X的分布函数F(x)

五、（本题满分10分）

为估计一分钟一次广告的平均费用，随机抽取了100个电台作为样本，计算得样本的平均值 90.5元，样本标准差为44.5元，在广告费用X的分布未知时，试求平均广告费95.45%的置信区间。

｛解答：由于X的样本容量较大，故认为X近似服从正态分布，临界值 2，

sn

90.5 2

44.510

81.6 ，

sn

90.5 2

44.510

99.4

于是一分钟一次平均广告费95.45%的置信区间为[81.6，99.4]｝

六、（本题满分12分）

设(X1,X2, ,Xn)为来自总体X的一个样本，X服从指数分布，其密度函数为 e x,f(x; )

0,

x 0x 0

，其中 0为未知参数，试求 的矩估计量和极大似然估计量。

七、（本题满分12分）

设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率估计犯罪青少年年龄的置信区间。

概率论与数理统计复习题(二)参考解答

一、 填空题:

1、

分析:

P(AB)=1-p-q

P(AB )=P(A B )=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]

A ,B互不相容 P(AB)=0

P(AB)=1-p-q

P(A)=p, P(B)=q

2、

3、P x y 1 =0.5

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

分析: y~N(0,1) x+y～N(1,3) P{x+y 1}=F(1)=

)= (0)=0.5

x,y相互独立

x~N(1,2)

4、b=3, =2

分析:

x服从[-1,b]上的均匀分布 Ex=

b-12,Dx

(b 1)

由切比雪夫不等式 P{x Ex } 1

Dx

2

21

题中已知: P{x-1 } 1

33

b 1

1 2

12

2 (b 1)

Dx11 Ex 1,2 2 3

3

2

b 3 2

二.单项选择题

1. D

分析: (A)中,A和B互不相容 P(AB)=0,但不能反推; (B)中,P(AB)=P(A)·P(B) A、B相互独立; (C)中,P(A)=0或P(B)=0与P(AB)=0无关; (D)中,2. A

P(A B) P(AB) P(A)

P(A-B)=P(A)

P(AB) 0

分析:由分布律的性质可知:0< <1且 P x k =1即 b k=1;

k 1

k 1

由等比数列求和可知:

3. D

分析:

b 1

=1 =

1b 1

D(2x-y)=D(2x)+Dy-2cov(2x,y)=4D(x)+Dy-4cov(x,y)

x,y相互独立 cov(x,y)=0 D(2x-y)=27 Dx=6 Dy=3

4. B

分析:由各对应分布的分位数性质可得. 5. B

分析: (A)x 显然为总体期望 的无偏估计

(B)E(x1+x2+ +xn)=Ex1+Ex2+ +Exn=n 显然不是总体期望 的无偏估计;

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

(C)E[0.1 (6x1+4x2)]=E(0.6x1+0.4x2)=0.6Ex1+0.4Ex2

=0.6 +0.4 =

(D)E(x1+x2-x3)=Ex1+Ex2+Ex3= + - = 三.解答:设A为事件〝利率下调〞,那么A即为〝利率不变〞, 记B为事件〝股票价格上涨〞,由题设P(A)=60% P(A)=40% P(BA)=80% P(BA)=40%

于是 P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)·P(BA)+ P(A)·P(BA)= 60% 80%+40% 40%=64% 四.解:由密度函数的性质. 1)

=

f(x)dx=1

1

f(x)dx+

1 1

f(x)dx+

1

f(x)dx=1

1 =1 A

1

1

1

2)

=

1

arcsinx

12

12

=

1

(

6

+

6

)=

13

x落在(12, 12)内的概率为1.

3

x

3)x<-1时 F(x)=0 -1 x<1时

F(x)=

f(t)dt

x

1

arcsint

x 1

12

1

arcsinx

x 1时

F(x)=

x

f(t)dt

1 dx 1

0 1F(x)=

2 1

x 1

1 x 1

x 1

五.解答题见资料

e x,x 0

六.解:x服从指数分布,其密度函数为f(x, )=

0,x 0

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

Ex=

x e

x

=

0

xd(e

x

)= xe

x

+

0

e

x

dx=1

Ex=X

=X

e

n

1

为 的矩估计量

极大似然估计: L( )= ln

(x1 x2 ... xn)

L( ) nln (x1 x2 ... xn)

lnL( )

令

n

(x1 x2 ... xn) 0

为 的极大似然估计量

1

1n

(x1 x2 ...xn) X

=X

1

七.解:设x为青少年犯罪的年龄,依题中各样本值知:

X

22 17 19 25 25 18 16 23 24

9

21,S

2

1008

,S

2

由于 2未知,故适用

T

, 得置信区间为

ss ,21 2.306 X t(8) X t(8)即21 2.306 0.9750.975 33

所求犯罪青少年年龄的置信区间为(18.44,23.56)

概率论与数理统计复习题（三） 一.选择题（18分，每题3分）

1．设A,B为随机事件，且P(B|A) 1，则必有

(A)A是必然事件；(B)P(B|A) 0；(C)A B； (D)A B.

2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

行4次，记X为红球出现的次数，则X的数学期望E(X)

1610

2410

410

(A)

； (B)； (C)； (D)

4 610

2

.

3．设随机变量X的分布密度函数和分布函数为f(x)和F(x), 且f(x)为偶函数, 则对任意实数a,有

(A) F( a)

12

a0

f(x)dx (B) F( a) 1

a0

f(x)dx

(C) F( a) F(a) (D) F( a) 2F(a) 1

4．设随机变量X和Y相互独立, 且都服从(0,1)区间上的均匀分布, 则仍服从

均匀分布的随机变量是

(A)Z X Y (B)Z X Y (C)(X,Y) (D)(X,Y

2

)

5．已知随机变量X和Y都服从正态分布:X~N( ,42),Y~N( ,32), 设

p1 (X 4),p2 P(Y 3), 则(A) 只对 的某些值,有p1 p2 (B) 对任意实数 ,有p1 p2 (C) 对任意实数 ,有p1 p2 (D) 对任意实数 ,有p1 p2

6．设X~N( , ), 未知，则 的置信度为95%的置信区间为

(A)(X

22

n

t0.025) (B)(X

Sn

t0.025)

(C)(X

n

t0.05) (D)(X

Sn

t0.05)

二. 填空题（21分，每题3分）

1． 已知随机事件A，B有概率P(A) 0.7，P(B) 0.8，条件概率P(B|A) 0.6，则

P(A B) ．

2. 已知随机变量(X,Y)的联合分布密度函数如下, 则常数K

Ky(1 x),

f(x,y)

0,

0 x 1,0 y x;

其它。

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为E(X)= ,D(X)

4. 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示概率

P(X a,Y b) .

1 kX1 3X2 (2 2k)X3是 的无偏 5. 设X1,X2,X3是取自N( ,1)的样本，

估计量则常数k

6．设（X1,X2, ,X6）是来自正态分布N(0,1)的样本，

3

2

6

2

Y ( Xi) ( Xi)

i 1

i 4

当c＝ 时， cY服从 2分布，E( 2)＝ .

7．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y)(1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P0.4 0.2 a b

若E(XY) 0.8，则cov(X,Y) .

三. 计算题 （54分，每题9分）

1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取

出一件，求：

（1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率

2．设二维随机变量（X,Y）在区域 G {(x,y)|0 x 1,|y| x} 上服从

均匀分布。求：边缘密度函数fX(x),fY(y).

3．已知随机变量(X,Y)~N(0.5，，Z 2X Y， 4；0.1，9；0）试求：方差D(Z)，协方差COV(X，Z)，相关系数 XZ

4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不

合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

（ (1.856) 0.9680）

5．设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一个样本，总体

x

X~f(x, )

0,

1

,x (0,1)x (0,1)

，( 0)。

试求：(1) 未知参数 的矩估计量 ；(2) 未知参数 的极大似然估计量 L；

(3) E(X2)的极大似然估计量.

2

6．某种产品的一项质量指标X~N( ， )，在5次独立的测试中，测得数

据（单位：cm） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（ 0.05） （1） 可否认为该指标的数学期望 1.23cm？

（2） 若指标的标准差 0.015，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？

附 分布数值表

(1.45) 0.926, (1.62) 0.9474, (1.30) 0.9032,t0.025(4) 2.7764,t0.025(5) 2.5706,t0.05(4) 2.1318,

(2.33) 0.99 t0.05(5) 2.0150

0.025(4) 11.143, 0.975(4) 0.484, 0.05(4) 9.488,

222

0.95(4) 0.711

2

概率论与数理统计复习题（三）答案

一. 选择题（18分，每题3分）

c b a c d b 二. 填空题（21分，每题3分）

1． 0.62； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． 1 F(a,b) F(a, ) F( ,b)；

5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分）

1． 解：令 A={取出为正品}， Bt={箱子中有t个正品}，t 0,1,2, ,n . 由已知条件，P(Bt)

1n 1

，P(ABt)

n

tn

,t 0,1,2, ,n，

1

1

n

（1）由全概率公式，P(A)

t 0

P(Bt)P(ABt)

n 1n

t

12

,

t 0

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

（2）由Bayes公式，P(BnA)

2x 0

P(Bn)P(ABn)

P(A)

12(n 1)

.

2. 解： fX(x)

0 x 1其他

1 y

fY(y) 1 y

0

1 y 0

0 y 1 其他

3．解：E(Z) 0.9 D(Z) 25

cov(X,Z) 8

XZ

45

100

4．解：设Xi为第I位学生的得分(i 1,2, 100)，则总得分X

i 1

Xi

E(Xi) 1.9 D(Xi) 0.29 E(X) 100 1.9 19 D(X) 100 0.29

200 190

29

180 190

29

P(180 X 200) () ()

2 (1.856) 1 0.936

X

5．解：（1） 矩估计量

1 X

2

2

2

（2） 极大似然估计量 L

n

n

lnXi i 1

(X2) L

（3） E(X)的极大似然估计量 E

L 2

2

n

n

2

2

2

n 2( lnXi)

i 1

7. 解：（1）假设 H0: 1.23;H1: 1.23.

X 0S/

n

当H0为真，检验统计量 T

~t(n 1)

概率论与数理统计模拟考试题目及答案

t (n 1) t0.025(4) 2.7764 ， 拒绝域 W ( , 2.7764] [2.7764, )

2

1.246,s2 0.02882， [ 1.23,s2 0.02242 ]

T0 1.242 W，接受H0. [ T0 3.571 W，拒绝H0 ]

（2）假设 H0: 2 0.0152;H1: 2 0.0152.

当H0为真，检验统计量

2

2

2

(n 1)S

2

20

~

2

(n 1)

(n 1) 0.05(4) 9.488， 拒绝域 W [9.488, ). 0 14.86 W，拒绝H0 .

2

概率论与数理统计复习题（四） 一．判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，P(A) 0当且仅当A是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X与Y独立，且都服从p 0.1的 (0，1) 分布，则X Y ( ) 4．设X为离散型随机变量, 且存在正数k使得P(X k) 0，则X的数学期望

E(X)未必存在( )

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第

二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为p(0 p 1)，重复进行试验直到第n次才取

得r(1 r n) 次成功的概率为 . (a) Cn 1p(1 p)(c) Cn 1p

r 1

r 1

r 1

r

n r

； (b) Cnp(1 p)； (d) p(1 p)

r

n r

rrn r

；

(1 p)

n r 1

.

2. 离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X xk) . (ａ) P(xk 1 X xk)； (ｂ) F(xk 1) F(xk 1)；