博弈论之三：混合策略 博弈论之三：

1/纯策略与混合策略 纯策略与混合策略只选择一种策略，称“纯策略” 纯策略常常不可能是最优策略，例如： 打球或游戏老是采取同一种打法 警察老是在同一时间地点巡逻 税务机关每本账都不查，导致纳税人胆 大妄为，每账必查，账本积压，也胆大 妄为因此必须变换策略，以各种不同的几率来选择 实施几种不同策略，此称“混合策略” 如何混合，则需要根据对方的收益矩阵(支付 矩阵)来预测对方的行为，从而作出博弈决策

案例：纳税人与税官的博弈，利益函数： 案例：纳税人与税官的博弈，利益函数：1.税务机关不查账，纳税人不逃税：税务机关得到 税务机关不查账，纳税人不逃税： 税务机关不查账 税金a, 纳税人纳税a:( :(a,- ) 税金 纳税人纳税 ：( -a) 2.税务机关查账，纳税人不逃税：税务机关得税 ， 税务机关查账， 税务机关查账 纳税人不逃税：税务机关得税a, 查账付出成本为C,纳税人纳税a - - 查账付出成本为 ，纳税人纳税 :(a-C,-a) 3.税务机关不查账，纳税人逃税：税务机关未得税 税务机关不查账， 税务机关不查账 纳税人逃税： 纳税人未缴税金:( 金，纳税人未缴税金 0, 0) 4.税务机关查账，纳税人逃税：纳税人罚款 ，税务 税务机关查账， 税务机关查账 纳税人逃税：纳税人罚款F, 机关得到F,付出成本C,故利益函数分别为:( 机关得到 ，付出成本 ，故利益函数分别为 a ,-a- ) +F-C,- -F) - ,-

收益矩阵：没有最优纯策略税务机关 不查账 不逃税 纳 税 人 查账

a(税务机关) a-C(税务机关) -a(纳税人) -a(纳税人) 0(税务机关 0(纳税人) ( a+F-C) + - ) (税务机关) (-a-F) - - (纳税人)

逃税

1:纳税人的混合策略 (逃税概率 分析 ： 逃税概率)分析 逃税概率 纳税人的策略空间：纳税与逃税 要取得最大利益，不能采取纯策略，而是采取 混合策略：有时纳税，有时逃税，即采取逃税 概率P,这就是需要求解的决策结果 为此必须考察在纳税者采取混合策略P时，税 务机关的税务机关的利益矩阵(支付矩阵), 而税务机关利益最大化决定了逃税概率P的值。 所以，逃税人要分析自己的逃税概率对于税务 机关的利益矩阵的影响从而产生了逃税概率P

设逃税概率为P,税务机关的支付矩阵为： 税务机关的支付矩阵为： 税务机关的支付矩阵为 税务机关 不查账 纳 税 人 不逃税 概率为(1-p) 逃税 (概率为P) a(1-p) 0*p 查账 (a-C)(1-p) (a+F-C)p

查账预期收益：(a-C)(1-p)+(a+F-C)p=a-C+Fp 不查账预期收益：a(1-p)+0*p=a(1-p

)

根据税务机关的利益函数， 根据税务机关的利益函数，理性的逃税人猜测税 务机关的行为，由此产生了逃税概率： 务机关的行为，由此产生了逃税概率： 税务机关：查账预期收益(a-C+Fp),不查账预期收益a(1-p) a-C+Fp>a(1-p)时,即p>C/(F+a)时，税务机关选择查账的 税务机关选择查账的 利益大于不查账;当p<C/(F+a)时，税务机关选择不查账的 利益大于不查账 税务机关选择不查账的 利益大于查账; 利益大于查账 逃税分子根据税务机关的这一理性决策，将其逃税概率控 逃税分子根据税务机关的这一理性决策， 制于P≤C/(F+a),因为这时税务机关一般不查账。打击逃税 税务机关一般不查账。 制于P≤C/(F+a) 税务机关一般不查账 的目的就是使逃税率低于此值 设罚款 设罚款F=fa,f为罚款系数，C=ca, c为平均每元钱所花费 为罚款系数， , 为罚款系数 为平均每元钱所花费 的查账成本，则得逃税概率： 的查账成本，则得逃税概率： p ≤ C/a(f+1)=c/(f+1) = 罚款系数越高，逃税概率越小；所以应当施行重罚； 罚款系数越高，逃税概率越小；所以应当施行重罚； 平均每元钱查账成本越低，逃税概率越小。 平均每元钱查账成本越低，逃税概率越小。所以大笔税收 逃税率相对较小

2. 税务机关混合策略(查账率)分析 税务机关混合策略(查账率) 税务机关的策略空间：查账与不查账 要取得最大利益，不能采取纯策略，而是有时 查账，有时不查账，即采取查账率为r,此数即 是我们要求解的税务机关的博弈策略。 这个最大利益必须通过分析纳税人的利益函数 才能得到。在一定查账率决定了逃税人在利益 矩阵(支付矩阵)中所采取利益最大化策略 所以，税务机关必须通过查账率对纳税人的行 为的影响，来决定其策略：查账率

查账概率为r,纳税人支付矩阵为： 查账概率为 ，纳税人支付矩阵为：税务机关 不查账(概率为(1-r))查账(概率为r) 纳 不逃税 税 逃税 人 -a(1-r) 0(1-r)-ar

-(F+a)r

假设税务机关查账概率为r(不查账的概率就为1-r) 纳税人不逃税的预期收益：-a(1-r)-ar=-a 逃税的预期收益是：0-(F+a)r=-(F+a)r 问题2:税务机关的查账概率应当是多少？ 问题 ：税务机关的查账概率应当是多少？它由哪些 因素决定的？ 因素决定的？

纳税人的策略决定于税务机关的查账概率r: 纳税人的策略决定于税务机关的查账概率 ： 纳税人不逃税收益-a,逃税预期收益-(F+a)r 当-(F+a)r>-a,即r<a/(F+a)时，他的理性选择是 ， < 时 逃税； > 逃税；当r>a/(F+a)时，他的理性选择是不逃税 时 而税务机关知道

纳税人的理性计算，所以为了防止 而税务机关知道纳税人的理性计算， 纳税人逃税而决定：查账概率r≥a/(F+a) 纳税人逃税而决定：查账概率 设罚款 设罚款F=fa,f为罚款系数，则： 为罚款系数， , 为罚款系数 r≥1/(f+1)

罚款系数越高，查账率可以越小 罚款系数越高，

此案总结： f 为罚款系数，c为每元钱的平均查账成本， 为罚款系数， 为每元钱的平均查账成本 为每元钱的平均查账成本， 于是有： 于是有： 税务机关的理性的查账概率 税务机关的理性的查账概率r≥1/(f+1),这是 ， 税务机关的“混合策略” 税务机关的“混合策略”。可见罚款系数越 高，查账概率可以越低 纳税人的理性的逃税概率 纳税人的理性的逃税概率P≤c/(f+1),这是纳 税人的混合策略。可见查税平均成本越高逃 税概率越高；罚款越高逃税概率越小 如此形成双方的“理性博弈”

混合策略的普遍意义上述方法可以被用于很多管理事务中，如： 警察与小偷； 贪官与检察官 不确定性的价格战 制造污染的企业与环境部门 违纪职工与领导，等等，等等 加大惩罚系数，减少平均检查成本，是减少违 加大惩罚系数，减少平均检查成本， 法现象发生概率的基本途径， 法现象发生概率的基本途径，从而真正实现 “管理的经济”。 管理的经济”