高等数学同济版大学微积分公式

高等数学公式

导数公式

(tgx) secx(ctgx) csc2x(secx) secx tgx(cscx) cscx ctgx(ax) axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表

2

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctgx)

1 x2

1

(arcctgx)

1 x2

tgxdx lncosx C ctgxdx lnsinx C

secxdx lnsecx tgx C cscxdx lncscx ctgx C

dx1x

arctg C a2 x2aadx1x a

ln x2 a22ax a Cdx1a x

a2 x22alna x Cdxx

arcsin C a2 x2

a

2

n

dx2

sec cos2x xdx tgx Cdx2

csc sin2x xdx ctgx C

secx tgxdx secx C

cscx ctgxdx cscx C

ax

adx lna C

x

shxdx chx C chxdx shx C

dxx2 a2

ln(x x2 a2) C

2

In sinxdx cosnxdx

n 1

In 2n

x2a22

x adx x a ln(x x2 a2) C

22x2a2222

x adx x a lnx x2 a2 C

22x2a2x222

a xdx a x arcsin C

22a

2

2

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三角函数的有理式积分：

2u1 u2x2du

sinx ，　cosx ，　u tg，　dx

21 u21 u21 u2

一些初等函数 ： 两个重要极限：

ex e x

双曲正弦:shx

2ex e x

双曲余弦:chx

2

shxex e x

双曲正切:thx x

chxe e xarshx ln(x x2 1）archx ln(x x2 1)

11 x

arthx ln

21 x

lim

sinx

1

x 0x

1

lim(1 )x e 2.718281828459045...x x

·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tg( )

sin sin 2sin

tg tg

22

sin sin 2cossin

22cos

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弧微分公式：ds y 2dx,其中y tg 平均曲率：K

:从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量； s：MM 弧长。 s

y d

M点的曲率：K lim .

23 s 0 sds(1 y )

直线：K 0;1

半径为a的圆：K .

a

定积分近视计算：

b

矩形法： f(x)

ab

b a

(y0 y1 yn 1)n

b a1

[(y0 yn) y1 yn 1]n2

b a

[(y0 yn) 2(y2 y4 yn 2) 4(y1 y3 yn 1)]3n

梯形法： f(x)

a

b

抛物线法： f(x)

a

定积分相关公式：

功：W F s

水压力：F p A

mm

引力：F k122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：y f(x)dx

b a a12

f(t)dt b aa

b

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·倍角公式：

sin2 2sin cos

cos2 2cos2 1 1 2sin2 cos2 sin2 ctg2 1

ctg2

2ctg 2tg

tg2

1 tg2

sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 3tg tg3 tg3

1 3tg2

·半角公式：

sintg

2

cos cos

　　　　　　　　　　　　cos 222

1 cos 1 cos sin cos 1 cos sin

　　ctg

1 cos sin 1 cos 21 cos sin 1 cos

2

·正弦定理：

abc

2R ·余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC sinAsinBsinC

·反三角函数性质：arcsinx

2

arccosx　　　arctgx

2

arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n k)(k)

Cnuvk 0n

n(n 1)(n 2)n(n 1) (n k 1)(n k)(k)

u(n)v nu(n 1)v uv uv uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)f(b) f(a)f ( )

F(b) F(a)F ( )

当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率

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空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2向量在轴上的投影：Prju cos , 是u轴的夹角。

Prju(a1 a2) Prja1 Prja2

a b a bcos axbx ayby azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos i

c a b ax

bx

jayby

axbx ayby azbz

ax ay az bx by bz

2

2

2

2

2

2

k

az,c a bsin .例：线速度：v w r.bz

aybycy

az

bz a b ccos , 为锐角时，

cz

ax

向量的混合积：[abc] (a b) c bx

cx代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0，其中n {A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax By Cz D 0

xyz

3 1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d

Ax0 By0 Cz0 D

A2 B2 C2

x x0 mt

x xy y0z z0

0 t,其中s {m,n,p};参数方程： y y0 nt

mnp z z pt

0 二次曲面：

x2y2z2

12 2 2 1

abcx2y2

2 z（,p,q同号）

2p2q3、双曲面：

x2y2z2

2 2 2 1

abcx2y2z2

2 2 2 （马鞍面）1

abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dz

z z u u udx dy　　　du dx dy dz x y x y z

全微分的近似计算： z dz fx(x,y) x fy(x,y) y多元复合函数的求导法：

dz z u z v

z f[u(t),v(t)] 　

dt u t v t

z z u z v

z f[u(x,y),v(x,y)]

x u x v x

当u u(x,y)，v v(x,y)时，du

u u v v

dx dy　　　dv dx dy　 x y x y

隐函数的求导公式：

FxFFdydyd2y

隐函数F(x,y) 0 2 ( x)＋( x)

dxFy xFy yFydxdxFyFx z z

隐函数F(x,y,z) 0

xFz yFz

F F(x,y,u,v) 0 (F,G) u

隐函数方程组：　　　J G (u,v) G(x,y,u,v) 0

u

u1 (F,G) v1 (F,G) xJ (x,v) xJ (u,x) u1 (F,G) v1 (F,G) yJ (y,v) yJ (u,y)微分法在几何上的应用：

F

v Fu GGu v

FvGv

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x (t)

x xy y0z z0

空间曲线 y (t)在点M(x0,y0,z0)0

(t0) (t0) (t0) z (t)

在点M处的法平面方程： (t0)(x x0) (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0 FyFzFzFxFx F(x,y,z) 0若空间曲线方程为：,则切向量T {,,

GGGxGGG(x,y,z) 0 yzzx

曲面F(x,y,z) 0上一点M(x0,y0,z0)，则：

1、过此点的法向量：n {Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x x0y y0z z03

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

Fy

Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0) Fy(x0,y0,z0)(y y0) Fz(x0,y0,z0)(z z0) 0

f f f

函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l cos sin

l x y其中 为x轴到方向l的转角。

f f

函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i j

x y

f

它与方向导数的关系是 gradf(x,y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的

l

单位向量。 f

是gradf(x,y)在l上的投影。 l多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0，令：fxx(x0,y0) A,　fxy(x0,y0) B,　fyy(x0,y0) C A 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，

A 0,(x0,y0)为极小值 2

则：值 AC B 0时，　　　　　　无极 AC B2 0时,　　　　　　　不确定 重积分及其应用：

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f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd

D

D

曲面z f(x,y)的面积A

D

z z

dxdy

x y

2

2

Mx

M

x (x,y)d

D

(x,y)d

D

D

,

MyM

y (x,y)d

D

(x,y)d

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix y2 (x,y)d ,　　对于y轴Iy x2 (x,y)d 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F {Fx,Fy,Fz}，其中：Fx f

D

(x,y)xd

(x y a)

2

2

22

Fy f 3

D

(x,y)yd

(x y a)

2

2

22

Fz fa 3

D

(x,y)xd

(x y a)

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

x rcos

柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz, y rsin ,　　　 z z

其中：F(r, ,z) f(rcos ,rsin ,z)

x rsin cos 2

球面坐标： y rsin sin ，　　dv rd rsin d dr rsin drd d

z rcos

2

r( , )

2

F(r, , )rsin dr 0

f(x,y,z)dxdydz F(r, , )rsin drd d d d

2

1

M

x dv,　　

1M

y dv,　　

1M

z dv，　　其中M dv

转动惯量：Ix (y2 z2) dv，　　Iy (x2 z2) dv，　　Iz (x2 y2) dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x (t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　( t ),则：

y (t)

L

x t22

f(x,y)ds f[ (t), (t(t) (t)dt　　( )　　特殊情况：

y (t)

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x (t)设L的参数方程为，则：

y (t)

P(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds，其中 和 分别为

L

L

L上积分起止点处切向量的方向角。 Q P Q P

格林公式：( )dxdy Pdx Qdy格林公式：( )dxdy Pdx Qdy x y x yDLDL Q P1当P y,Q x 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydx

x y2L

D·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积： Q P

在＝时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： x y

(x,y)

Q P

＝。注意奇点，如(0,0)，应 x y

u(x,y)

(x0,y0)

P(x,y)dx Q(x,y)dy，通常设x

y0 0。

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds f[x,y,z(x,y z(x,y) z(x,y)dxdyxy

Dxy

对坐标的曲面积分：，其中： P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy

号； R(x,y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正

Dxy

号； P(x,y,z)dydz P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正

Dyz

号。 Q(x,y,z)dzdx Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx

两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds

高斯公式：

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(

P Q R )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds x y z

高斯公式的物理意义——通量与散度：

P Q R

散度：div ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失...

x y z

通量： A nds Ands (Pcos Qcos Rcos )ds， 因此，高斯公式又可写成： divAdv Ands

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(

R Q P R Q P

)dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x y

cos

yQ

cos zR

dydzdzdxcos

上式左端又可写成： x y z x

PQRP

R Q P R Q P

空间曲线积分与路径无

y z z x x yijk

旋度：rotA

x y zPQR

向量场A沿有向闭曲线 Pdx Qdy Rdz A tds

常数项级数：

1 qn等比数列：1 q q q

1 q(n 1)n

等差数列：1 2 3 n

2

111

调和级数：1 是发散的

23n

2

n 1

级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数收敛

设： limn，则 1时，级数发散

n

1时，不确定 2、比值审敛法：

1时，级数收敛

U

设： limn 1，则 1时，级数发散

n Un 1时，不确定

3、定义法：

sn u1 u2 un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n

交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u2 u3 ,un 0)的审敛法——莱布尼兹定理： un un 1如果交错级数满足s u1,其余项rnrn un 1。 limu 0，那么级数收敛且其和

n n绝对收敛与条件收敛：

(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1( 1)n

调和级数： n发散，而 n1

　　级数： n2收敛；

１时发散1

　　p级数： npp 1时收敛幂级数：

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1

x 11 x1 x x2 x3 xn x 1时，发散

对于级数(3)a0 a1x　 a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。

x R时不定

1

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

an 1

，其中an，an 1是(3) 0时，R

n an

时，R 0

函数展开成幂级数：

f (x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)n

2!n!

f(n 1)( )

余项：Rn (x x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0

n (n 1)!f (0)2f(n)(0)n

x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x

2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n

x x 　　　( 1 x 1)2!n!

352n 1

xxx

sinx x ( 1)n 1 　　　( x )

3!5!(2n 1)!(1 x)m 1 mx 欧拉公式：

eix e ix

cosx 2ix

e cosx isinx　　　或 ix ix

sinx e e 2 三角级数：

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a0

f(t) A0 Ansin(n t n) (ancosnx bnsinnx)

2n 1n 1

其中，a0 aA0，an Ansin n，bn Ancos n， t x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]上的积分＝0。傅立叶级数：

a0

f(x) (ancosnx bnsinnx)，周期 2

2n 1

1

(n 0,1,2 ) an f(x)cosnxdx　　　

其中

b 1f(x)sinnxdx　　　(n 1,2,3 ) n

11 2

1 2 2

835

　111 2

24224262

正弦级数：an 0，bn 余弦级数：bn 0，an

111 2

1 2 2 2 6234

111 2

1 2 2 2 12234f(x)sinnxdx　　n 1,2,3 　f(x) b

2

n

sinnx是奇函数

2

f(x)cosnxdx　　n 0,1,2 　f(x)

a0

ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0 n xn xf(x) (ancos bnsin)，周期 2l

2n 1ll

l 1n x

dx　　　(n 0,1,2 ) an f(x)cos

l ll

其中 l

b 1f(x)sinn xdx　　　(n 1,2,3 ) nl l l

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微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y f(x,y)　或　P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：

g(y)dy f(x)dx　　得：G(y) F(x) C称为隐式通解。

dyy

f(x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u ，则 u x，u (u)， 代替u，

xdxdxdxx (u) ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy

1 P(x)y Q(x)

dx

P(x)dx

当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce

P(x)dx P(x)dx当Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e dx C)e

dy

2 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：

u u

du(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 P(x,y) Q(x,y)

x y u(x,y) C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x) 0时为齐次d2ydy

P(x) Q(x)y f(x) 2

dxdxf(x) 0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y py qy 0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：( )r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数；2、求出( )式的两个根r1,r2

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

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二阶常系数非齐次线性微分方程

y py qy f(x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型， 为常数；f(x) e x[Pl(x)cos x Pn(x)sin x]型