排

列

1.2.1 排 列(1)

一、复习回顾：1.分类加法计数原理 如果完成

一件事情有n类办法，在第1类办法中 有m1种不同的方法，在第2类办法中 有m2种不同的方法，…,在第n类办 法中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：

N m1 m2 mn

种不同的方法。

2.分步乘法计数原理 完成一件事情 需要有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2 种不同的方法，…,做第n步 时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

种不同的方法。

N m1 m2 mn

3.分类加法原理和分布乘法原理的 主要区别是？

分类计数与分步计数原理的区别和联系：加法原理 区别一 乘法原理

完成一件事有不 同的方案关键是 “分类”

完成一件事情,共分n 个步骤，关键是 “分步”

任何一步都不能独立 每类办法都能独立 完成这件事情，只有 完成 这件事情。 区别二 每个步骤完成了，才 能完成这件事情。

区别三

各类办法是互斥的、

各步之间是相关联的

并列的、独立的

二、探究新知：问题1:从陶其满、王寅瑜、徐鸿飞3名同 学中选出2名参加娱乐比赛，其中1名同学 参加上午的唱歌比赛，另1名同学参加下午 的扎金花比赛，有多少种不同的选法？分 别是什么？

二、探究新知：问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参 加娱乐比赛，其中1名同学参加上午唱歌比 赛，另1名同学参加下午的扎金花比赛，有 多少种不同的选法？分别是什么？上午甲 乙

下午乙 丙 甲 丙 甲 乙

相应的排法甲乙 甲丙 乙甲

乙丙丙甲 丙乙

丙

把上面问题中被取的对象叫做元素,于 是问题1就可以叙述为：从3个不同的元素 a, b, c中任取2个，然后 按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不 同的排列方法？

ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个 排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分别是什么？2 1 3 43

1

2 3 41 41

43

1 2

3 2

4 2 2

13 1

4 23 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

叙述为: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

问题1 问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 从1,2,3,4这4个数中，每 参加某天的一项活动,其中1名参 次取出3个排成一个三位数， 加上午的活动,1名参加下午的活动, 共可得到多少个不同的三位数？ 有多少不同的排法? 原问题即：从3名同学中,

任取2名, 原问题即：从4个不同的数字中, 按参加上午的活动在前,下午的 任取3个,按照左边,中间,右边 活动在后的顺序排成一列, 有哪 的 顺序排成一列,写出所有不 些不同的排法？ 同的排法. 实质是：从3个不同的元素中,任 实质是：从4个不同的元素中, 取2个,按一定的顺序排成一列, 任取3个,按照一定的顺序排成 有哪些不同的排法？ 一列,写出所有不同的排法.

定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元

素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.(一取二排)

基本概念1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m (m n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不

同元素中取出m个元素的一个排列。

说明：m<n时的排列叫选排列，

m=n时的排列叫全排列。

排列的特征 你认为哪些关键词比较重要吗？1、“不同”:元素不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置 有关,这是判断一个问题是否是排 列问题的关键。注意：两个排列相同，当且仅当这

两个排列中的元素完全相同，而且 元素的排列顺序也完全相同。

思考:下列问题中哪些是排列问题？(1)10名学生中抽2名学生开会

(2)10名学生中选2名做正、副组长 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)有2个车站,共需要多少种车票？(6)有2个车站,共需要多少种不同 的票价?

2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有不同排列的个数，叫做从n个不同的元 m 素中取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。“排列数”是指从n 个不同元素中，任取 m 个元素的 m 所有排列的个数，是一个数； 所以符号 An 只表示 排列数。 “排列”是指元素按顺序的组合

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 排列数，记为 A3 ,已经算得 2

A3 3 2 6

问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 排列数，记为 A4 ,已经算出 A3 4 3 2 244

探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 数 An 是多少？A3 呢？ Am 呢？n n

探究：从n个不同元素中取出2个元素的 2 排列数 An 是多少？

A

2 n

第1位

第2位 n-1

n

2 An

n(n 1)

A

3 n

第1位 第2位 第3位

n3 An

n-1

n-2

n(n 1)(n 2)