北航研究生固体化学试题

第一章 群论基础和分子的对称性

①与群有关的基本概念和定理；对于由对称操作构成的简单对称操作群(点群)应能确定其的含群元素、对称元素和可能存在的子群。

②熟练掌握分子和有限图形的几种典型对称操作和对称元素。

③熟练掌握分子点群的类型，如Cn、Dn和Td ，对于一指定分子，应能正确判断其所属点群。 ④能运用对称性正确分析判断分子的极性和手性。

第二章 晶体结构

①了解晶体的基本特性。

②了解与掌握：

A、等同点和点阵的基本概念；

B、晶体的合理宏观对称元素和微观对称元素；

C、32个晶体学点群、7个晶系和14种空间点阵型的来龙去脉；

D、立方、六方、四方和正交晶系点阵面间距公式的正确使用；

E、晶体学点群对称元素和群元素的极射赤面投图表示。

③A、熟练掌握几种典型金属晶体的原子堆积方式和空间利用率的计算；

B、了解金属能带理论的基本要点及其应用；

C、结合几种典型离子晶体结构类型，熟练掌握离子晶体结构的Pauling规则及其应用。

第三章 晶体结构的X-射线衍射分析

①、Laue方程、Bragg方程、结构因子 (Fhkl);

②、几种晶体X-射线衍射分析的实验方法[Laue法(X-射线衍射和电子衍射)、回转晶体法和晶体的粉未X-射线分析(照相法和衍射法)]。

③ Scherrer方程与晶体颗粒尺寸的计算。

北航研究生固体化学试题

1、关于群：（15分）

元素集合G对定义其上的乘法作成一个群所应满足的条件是什么？

群:如果在元素集合G上定义一个结合法, 称为乘法, G中的任意两个元素a和b的乘积记为ab,且满足以下4个条件, 则称G为一个群.① 封闭性条件: 若a和b为G中的任意两个元素, 元素a和b的乘积c = ab亦是G中的一个元素, 即 c∈G。② 结合律条件: 对于G中的任意三个元素a、b和c, 恒有(ab)c = a(bc)。③ 恒等元条件: G有恒等元, 记为e. 对于G中的任意一个元素a, 恒有ea = ae=a。④ 逆元条件: G中的任意一个元素a均有一个对应元素b, 称为a的逆元, 可使ba = ab = e. 何为交换群（Abel群）？

交换群(Abel群): 如果对于群G中的任意两个元素a和b, 恒有ab=ba, 则称群G为交换群。 何为循环群？

循环群:若群G中的每一个元素均为其某一个元素a的幂ak (k是整数), 则称群G为循环群,记作G=(a),a称为群G的生成元, a的周期为循环群G的阶。循环群为一交换群。

写出L4(90°)旋转操作（X轴为对称轴-1，3行和1，3列依次互换）的表示矩阵（阵阶为3）？

00s 1 100 co 001 sinL4( /2) 0cos( /2)sin( /2)L( ) n 0 sin( /2)cos( /2) 0 10 0 sin 0 2 co s0 n 01

点群的对称元素在三维空间配置的基本特点是什么？

三维完全线性同构。

2、（15分）

联苯C6H5-C6H5有三种不同的构象，两苯环的两面角(α)分别为：(a)α=0°，(b)α=90°，(c)0 α 90°，试判断联苯这三种构象的所属点群，并画出(b)构想点群的极射赤面投影图和对称操作的一般等效点系。

(a)α=0°-D2h。Dnh点群: 在Dn点群的对称元素集合n×中加入一个与轴垂直的对称面mh 。 (b)α=90°-D2d。Dnd点群: 在Dn点群的对称元素集合{1×n+n×2}中加入一个包含n轴且平分两个二重轴夹角的对称面md 。

(c)0 α 90°-D2。Dn点群: 在Cn点群的对称元素集合{n轴}中加入一个与n轴垂直的2轴。

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D2h×mh, 2×md) D2d ×md) D2

属于下列点群的分子是否为极性分子和/或手性分子？

①C1，极性分子，手性分子。 ②C3V，极性分子，非手性分子。

③CS，极性分子，非手性分子。 ④D5d，非极性分子，非手性分子。 ⑤D6d，非极性分子，非手性分子。 ⑥D6h，非极性分子，非手性分子。 ⑦Oh，非极性分子，非手性分子。 ⑧Ci-1×i,非极性分子，非手性分子。

属于C2h、C4h、D2h、D4h、D6h和Dnd(n为奇数)等点群的分子的偶极矩为零, 分子为非极性分子。 关于手性和旋光性的3个问题: ①具有旋光性的分子一定是手性分子; ②在实验测量上, 手性分子却不一定能显示旋光性. 对于手性分子, 能否观测到其旋光性还取决于该手性分子旋光度的大小和旋光仪分辨率的高低; ③就对映异构现象而言, 显示旋光性的分子又分为两种情况, 一是分子为单一的对映异构体, 二是分子一种对映异体含量不均等的混合物, 即不是一外消旋混合物.

不能由实操作即平移+旋转操作将分子与其镜象完全重合的分子是手性分子。

分子手性的对称性判据: ①若分子有对称面, 其中包括分子的一种特定构象有对称面, 则该分子不是手性分子, 无旋光性.②若分子有反轴 (轴=i , 轴=m), 则该分子不是手性分子. ③若分子只有对称轴 (包括1轴), 则该分子是手性分子.

3、关于晶体的点阵结构特征（15分）

适合于晶体点阵结构的独立宏观对称元素有多少种？共组成多少个晶体学点群？这些点群分属多少个晶系？依据正当点阵单元的划分规则，共有多少种空间点阵型式？属于立方交晶系和六方晶系的点阵类型各有多少？

点阵 (晶体) 的独立宏观对称元素共有如下8种:1、2、3、4 、6、4、m 和i 。

32个晶体学点群（合理的晶体学点群）：① Cn (n=1, 2, 3, 4, 6): C1三斜, No. 1)、C2单斜, No.

2)、C3三方, No. 3)、C4四方, No. 4) 、C6六方, No. 5)；② Cnv (n=2, 3, 4, 6)：C2vmv , 正交, No. 6)、C3vmv ,三方, No. 7)、C4vmv , 四方, No. 8)、C6vmv , 六方, No. 9)；③ Cnh (n=1, 2, 3, 4, 6)：C1h=Cs (m, 单斜, No. 10)、C2hmh, 单斜, No. 11)、C3hmh, 六方, No. 12)、C4hmh, 四方, No. 13)、C6hmh, 六方, No. 14)；④ Dn (n=2, 3, 4, 6)：D2正交, No. 15)、D3三方, No. 16)、D4 四方, No. 17)、D6六方, No. 18)；⑤ Dnh (n=2, 3, 4, 6)：D2h (正交, No. 19)、D3h (六方, No. 20)、D4h (四方, No. 21)、D6h (六方, No. 22)；⑥ Dnd (n=2, 3)：D2d (四方, No. 23)、D3d (三方, No. 24)；⑦ S4 (1×4, 四方, No. 25)；⑧ Cni：Ci (1×i, 单斜, No.

26)、C3ii, 三方, No. 27) ；Note: C2i 、C4i和C6i均不是独立的晶体学点群 (Why?).满足Cnh的定义；⑨ T (4×3, 3×2, 立方, No. 28)、Thmh, i, 立方, No. 29)、Td4, 6×md , 立方, No.

30)；⑩ O 立方, No. 31)、Ohmd , 3×mh , i, 立方, No. 32)。

依据晶体的宏观对称性, 将晶体分为7个晶系，每一个晶系均有所属本晶系的特征对称元素和独立的晶格常数。立方晶系(4×3)：a b c， 90o；六方晶系(1×6或1×6)：a b c， 90o， 120o；四方晶系(1×4或1×4)：a b c， 90o；三方晶系(1×3或1×3)：

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∥。a b c， 90o；正交晶系(3×2或2×m)：a b c， 90o；单斜晶系(1×2或1×m)：a b c， 90o， 90o；三斜晶系(1×1或i)：a b c， 90o， 90o， 90o。

晶体的14种空间点阵型式 (Bravias点阵型式)：点阵和反映其平移对称性的平移群T, n, p一一对应, Tm, n, p决定于素矢量 (晶轴矢量) a、b和c . 平行六面体和素矢量只反映点阵的平移对称性, 而不能反映点阵的宏观对称性 (点对称性).

为了使选择的点阵周期性单位—正当点阵单位优先反映点阵的宏观对称性, 对由晶轴矢量形成的平行六面体的选择规则如下:①尽可能选取点阵的高次轴方向为晶轴矢量的方向[平行六面体的棱边矢量, 三方晶系除外(3轴方向: a + b + c)];②由3个晶轴矢量构成的平行六面体应能反映点阵的宏观对称性 (点对称性);③尽可能使所选择的平行六面体的独立晶格常数为最少, 即尽可能使晶轴矢量a、和相交成直角;④在满足上述3个规则的条件下, 应使所选择的平行六面体体积为最小, 即其所含点阵点数为最少。

14种独立空间点阵型式:立方晶系(4×3)：cP-简单立方；cI-体心立方；cF-面心立方。六方晶系(1×6或1×6)： hP-简单六方。四方晶系 (1×4或1×4)：tP –简单四方；tI-体心四方。三方晶系(1×3或1×

2或2×m)：oP-简单正交；oC-底心正交（C心格子）；oI-体心正3) ：hR-三方素格子。正交晶系 (3×

交（I心格子）；oF-面心正交（F心格子）。单斜晶系 (1×2或1×m)：mP-简单单斜；mC-单斜C心格子。三斜晶系 (1×1或i)：aP。

晶体的微观对称元素共有3

32个空间群？组成的 晶体除宏观对称元素 (1、微对称元素 (平移轴、螺旋轴和滑移面). 同宏观对称元素的组合相同, 包括宏观对称元素和微观对称元素的组合方式亦不是任意的, 理论上可以证明合理的宏、微观对称元素组合方式共有230种, 形成230个空间群.

如对于宏观对称元素6, 相应的微观对称元素有61、62、63、64 、65和66. 对于点群C6, 则有同形空间群: C61、C62、C63、C64 、C65和C66 (6个); 对于点群D6, 则有同形空间群: D61、D62、D63、D64、D65和D66 (6个) 。组成的空间群分属32个晶体学点群。

指出在2 所列的8个点群中，那些是合理的晶体学点群（32个晶体学点群）？

①C1， ②C3V，③CS，⑥D6h，⑦Oh， ⑧Ci-1×i,。

4、设有一AB型晶体，晶胞参数是a b 3.98A， 90o。该晶体的一个晶胞中有两个A，其分数坐标为（0，0，0）和（1/2，1/2，0），晶胞中的一个B的分数坐标是（0，1/2，1/2）。试问 该晶体属于哪一晶系？ 立方晶系

属于何种Bravias格子？ 素格子

一个晶胞中含有几个B？ 2个B

晶胞中其它B原子的分数坐标能否确定？若能，写出其分数坐标；若不能，说明理由？（15分） 立方晶系。 素格子

一个晶胞中含有2个B （1/2，0，1/2）。

145、（15分）金红石(TiO2) 的空间点群是D4h ?42212，晶胞中各原子的分数坐标为： mnm

Ti4+:(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 1/2);O-2: (x, x, 0), (1-x, 1-x, 0), (1/2+x, 1/2-x, 1/2), (1/2-x, 1/2+x, 1/2).x≈0.31 在TiO2晶体中, O-2近似按立方密堆积 (A1) 排列, Ti4+填充于由O-2所形成的八面体空隙 (已不是正八面体空隙), 空隙占有率为50%.

北航研究生固体化学试题

试画出金红石晶胞的示意图，并指出其应属的点阵类型？

tP-四方素格子

14 “？”和D4h与42212所表达的含义？ mnm

14“？”应为P，代表素格子。D4h为点群的Schonflies的记号，D4h为该点群的第5号空间群，42

代表在立方晶系中平行于c 有42螺旋轴，m代表垂直于c有m对称面。21代表在立方晶系中平行于21螺旋轴，n代表垂直于a有n重轴。2代表在立方晶系中平行于a+b 有2重轴，m代表垂直于+

6、（15Cl-1）的密堆方式、正离子（Na+）的配位数6和正离子所填充空隙的构型，并验证Pauling离子电价规则的合理性？

7、（10分）

写出Laue方程和Bragg方程的表达式？

利用结构因子Fhkl讨论具有底心结构与体心结构的晶体的消光规律所适用的晶系，并分别例举在XRD衍射分析中可能出现和不一定出现的2组（hkl）级衍射，结合Laue方程简述其理由。 2

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Fhkl FFhkl F { fjexp[i2

(hxj kyj lzj)]} { fjexp[i2 (hxj kyj lzj)]}*

hkl2*

j 1j 12NN

北航研究生固体化学试题

1、关于群：（15分）

元素集合G对定义其上的乘法作成一个群所应满足的条件是什么？

何为交换群（Abel群）？

何为循环群？

写出L4(90°)旋转操作（X轴为对称轴）的表示矩阵（阵阶为3）？

点群的对称元素在三维空间配置的基本特点是什么？

2、（15分）

联苯C6H5-C6H5有三种不同的构象，两苯环的两面角(α)分别为：(a)α=0，(b)α=90°，(c)0 α 90°，试判断联苯这三种构象的所属点群，并画出(b)构想点群的极射赤面投影图和对称操作的一般等效点系。 属于下列点群的分子是否为极性分子和/或手性分子？

①C1，②C3V，③CS，④D5d，⑤D6d，⑥D6h，⑦Oh，⑧Ci。

3、关于晶体的点阵结构特征（15分）

适合于晶体点阵结构的独立宏观对称元素有多少种？共组成多少个晶体学点群？这些点群分属多少个晶系？依据正当点阵单元的划分规则，共有多少种空间点阵型式？属于立方交晶系和六方晶系的点阵类型各有多少？

晶体的微观对称元素共有几种？晶体的宏观对称操作和微观对称操作共组成多少个空间群？组成的空间群分属多少个晶体学点群？

指出在2 所列的8个点群中，那些是合理的晶体学点群？

4、设有一AB型晶体，晶胞参数是a b 3.98A， 90o。该晶体的一个晶胞中有两个A，其分数坐标为（0，0，0）和（1/2，1/2，0），晶胞中的一个B的分数坐标是（0，1/2，1/2）。试问 该晶体属于哪一晶系？

属于何种Bravias格子？

一个晶胞中含有几个B？

晶胞中其它B原子的分数坐标能否确定？若能，写出其分数坐标；若不能，说明理由？（15分）

145、（15分）金红石(TiO2) 的空间点群是D4h ?42212，晶胞中各原子的分数坐标为： mnm

Ti4+:(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 1/2);O-2: (x, x, 0), (1-x, 1-x, 0), (1/2+x, 1/2-x, 1/2), (1/2-x, 1/2+x, 1/2).x≈0.31 在TiO2晶体中, O-2近似按立方密堆积 (A1) 排列, Ti4+填充于由O-2所形成的八面体空隙 (已不是正八面体空隙), 空隙占有率为50%.

试画出金红石晶胞的示意图，并指出其应属的点阵类型？

14 “？”和D4h与42212所表达的含义？ mnm

6、（15分）画出NaCl晶胞的示意图，由图指出负离子（Cl-1）的密堆方式、正离子（Na+）的配位数和正离子所填充空隙的构型，并验证Pauling离子电价规则的合理性？

北航研究生固体化学试题

7、（10分）

写出Laue方程和Bragg方程的表达式？

Laue方程

( o) h nh* * ( o) k nk

( ) l nl* o

利用结构因子Fhkl讨论具有底心结构与体心结构的晶体的消光规律所适用的晶系，并分别例举在XRD衍射分析中可能出现和不一定出现的2组（hkl）级衍射，结合Laue方程简述其理由。 2Fhkl FFhkl F { fjexp[i2 (hxj kyj lzj)]} { fjexp[i2 (hxj kyj lzj)]} *

hkl2*

j 1j 12NN

① ⅰ 利用极射赤面投影法画出点群C4h、C4v和D2的对称元素投影图; ⅱ 在D2和C4h

的投影图中, 确定两个点阵的对称操作的一般等效点系, III并以此写出D2的乘法表. ② 计算金刚石型堆积 (A4) 的空间利用率 .

③ 已知金属钛属于六方密堆结构, 钛原子半径为146 pm, 试计算六方晶胞常数和晶体

密度.

④ 若晶体中的三个负离子位于正三角形的三个顶点, 正离子位于正三角形的几何中心,

试写出该构型的Pauling第一规则——离子配位多面体规则的表达式 .

⑤ 六方ZnS的晶胞如下图所示.ⅰ试计算晶胞内的Zn2+的分数坐标;

⑥ 对于CaF2离子晶体结构, 试验证离子电价规则的成立